Facult´ e Polydisciplinaire SMP/S6-Parcours: Electronique D´ epartement de Phys
Facult´ e Polydisciplinaire SMP/S6-Parcours: Electronique D´ epartement de Physique A.U.: 2015-2016 B´ eni Mellal Corrig´ e TD: Signaux et Syst` emes Exercice 1. . Consid´ erons le signal ` a temps continu suivant: i (t) = cos(πt) Ce signal est´ echantillonn´ e ` a .ms, le r´ esultat estun signal ` a temps discret. Estce que le signal r´ esultant estp´ eriodique? . Estce les signaux ` a temps discrets suivants sont p´ eriodiques? Si oui, Quelle la p´ eriode de chacun? a) x[n] = cos √πn b) x[n] = cos(πn) . Estce les signaux ` a temps discrets suivants sont p´ eriodiques? Si oui, Quelle la p´ eriode de chacun? a) ejn b) ejnπ c) e(jπn+) Solution de l’´ exercice Rappel Signal discret sinuso¨ ıdale Math´ ematiquement, le signal discret sinuso¨ ıdal est´ ecrit comme suit: x(n) = Acos(θn + φ) −∞< n < +∞ o` u A estl’amplitude, ωestla fr´ equence angulaire et φ estla phase. Un signal discret sinuso¨ ıdal estmontr´ e ` a la figure . La p´ eriode du signal discret sinuso¨ ıdale x(n), si il estp´ eriodique, estN. x(n) estl’amplitude A multipli´ ee par la partie r´ eelle de ej(θn+φ). Mais φ estla phase et A estl’amplitude, et aucun des deux n’a un effet sur la p´ eriode. Donc, si ejθn estp´ eriodique, nous avons: ejθn = ejθ(n+N) Or ejθn = ejθnejθN Pour des questions, demande de pr´ ecisions ou explications, n’h´ esitez pas ` a m’envoyer un mail ` a ahmed.boumezzough@gmail.com , ou bien ` a venir me voir au bureau. Si nous divisons chaque terme de l’´ equation ci-dessous par ejθn, nous obtenons: = ejθN = cos(θN) + j sin(θN) Pour que l’´ equation ci-dessus soit vrai, il faut que les deux conditions suivantes soient remplies: cos(θN) = Et sin(θN) = Ces deux conditions peuvent ˆ etre remplies que si θN estun entier multiple de . En d’autres termes, x(n) est p´ eriodique si: θN = πk Avec k estun entier. Ceci peut ˆ etre ´ ecrit: π θ = N k Si N k estun nombre rationnel (rapport entre deux entier) alors x[n] estp´ eriodique et la p´ eriode est: N = k π θ ! La petite valeur de N qui satisfait l’´ equation ci-dessous estappel´ e la p´ eriode fondamentale. Si le rapport π θ n’estun nombre rationnel, alors le signal x[n] estpas p´ eriodique. Fin du Rappel . La pulsation continue estω = π radians. ´ Etant donn´ e que l’intervalle d’´ echantillonnage Ts estde .msec = .sec, puis x[n] = cos(π()(.)n) = cos π n = cos π n Depuis lors, pour la p´ eriodicit´ e, il nous faut π θ = N k nous obtenons π π/= N k = π π = Pour k = nous avons N = , qui estla p´ eriode fondamentale. . a) Pour ce signal θ= √π et le rapport θ π doit ˆ etre un nombre rationnel. θ π = √π π = √ Il estclair que ce n’estpas un nombre rationnel et donc le signal n’estpas p´ eriodique. b) Concernant ce signal θ= π et le rapport θ π = π π = estun nombre rationnel. Donc le signal est p´ eriodique et la p´ eriode estcalcul´ ee comme suit: = N k Pour k = nous avons N = . Avec N estla p´ eriode fondamentale. Rappel Signal complexe discret p´ eriodique Un signal complexe discret estrepr´ esent´ e math´ ematiquement par x[n] = Aejαn −∞< n < ∞ Avec α estun nombre r´ eel. Pour que x[n] soit p´ eriodique, il faut x[n] = x(n + N) Or Aejαn = Aejα(n+N) Donc Aejαn = AejαnAejαN Nous allons diviser par Aejαn, nous obtenons = AejαN L’´ equation ci-dessus estsatisfaite si αN = πk Or N k = π α Si π α estun nombre rationnel alors x[n] estp´ eriodique avec la p´ eriode N = π α k Et le plus petit N satisfaisant l’´ equation ci-dessus estappel´ e la p´ eriode fondamentale. Si π/α n’estpas rationnel, alors x[n] n’estpas p´ eriodique. Fin du Rappel . a) On a pour ce signal, jn = jαn et ceci exige que α = . Pour la p´ eriodicit´ e, le rapport π α doit ˆ etre un nombre rationnel. Mais π n’estpas un nombre rationnel et ce signal estnon p´ eriodique. b) Concernant ce signal, jnπ = jαn et ceci exige que α = π. Pour la p´ eriodicit´ e, le rapport π α doit ˆ etre un nombre rationnel. Le rapport π α = π π = estun nombre rationnel. Donc le signal estp´ eriodique. π α = N k = π π = Pour k = nous avons N = . Avec N estla p´ eriode fondamentale. c) Pour le troisi` eme signal, e(jπn+) peut s’´ ecrire sous la forme eejπn et πjn = jαn exige que α = π. Pour la p´ eriodicit´ e, π α = π π = doit ˆ etre un nombre rationnel ce qui estvrai dans ce cas. Donc, le signal est p´ eriodique. π α = π π = = N k Pour k = nous avons N = qui estla p´ eriode fondamentale. Exercice 2. Repr´ esenter les signaux discrets suivants en fon ion du signal pulse (impulsion de Dirac): a) x[n] = {,, ↑ ,,−} b) x[n] = { ↑,,,−} Solution de l’´ exercice . Graphiquement, le premier signal estrepr´ esent´ e sur la figure , et il peut ˆ etre consid´ er´ e comme une somme d’impulsions telle que x[n] = δ(n + ) + δ(n + ) + δ(n) + δ(n −) −δ(n −) -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -2 -1 0 1 2 3 4 5 n Figure : Rpr´ esentation du signal x[n] = {,, ↑ ,,−} . Le second signal estrepr´ esent´ e sur la figure , et peut ˆ etre ´ ecrit comme la somme des impulsions telle que x[n] = δ(n) + δ(n −) + δ(n −) −δ(n −) -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 n Figure : Rpr´ esentation du signal x[n] = { ↑,,,−} Exercice 3. Consid´ erant le signal suivant: x[n] = {−,, ↑,−,,−} Repr´ esenter x "n + # Solution de l’´ exercice Le signal x[n] et x "n + # sont repr´ esent´ es sur la figure . n -2 0 2 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x[n] n -4 -2 0 2 4 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 x[(2/3)n + 1] Figure : Rpr´ esentation du signal x[n] et x "n + # Exercice 4. Consid´ erans le signal suivant: x[n] = {−,, ↑,} Donner et repr´ esenter: a) x[−n] b) x[−n + ] c) x[−n + ] d) x[−n] + x[−n + ] Solution de l’´ exercice . x[n] = {−,, ↑,} x[−n] estx[n] d´ eplac´ e autour de la position z´ ero, donc x[−n] = {, ↑,,−} . x[−n + ] estx[−n] d´ eplac´ e ` a gauche de , donc x[−n + ] = {,, ↑,−} . x[−n + ] estx[−n + ] mis ` a l’´ echelle par , donc x[−n + ] = {,, ↑ ,−} . x[−n] + x[−n + ] = {, ↑,,−} + {,, ↑,−} Nous additionnons ces deux signaux, nous obtenons: x[−n] + x[−n + ] = {, ↑,,−} + {,, ↑,−} = {,, ↑,,−} Exercice 5. Les signaux de la figure ne sont ni pairs ni impairs. ´ Ecrivez-les sous forme de somme des signaux pairs et impairs. Solution de l’´ exercice . Pour le signal x[n] = { ↑,,}, nous avons xodd [n] = [x[n] −x[−n]] = " { ↑,,} −{,, ↑} # = {−/,−/, ↑,/,/} -3 -2 -1 0 1 2 3 0 0.1 1 n -3 -2 -1 0 1 2 3 0 0.5 1 2 3 n B C Figure : Signaux de l’exercice xeven [n] = [x[n] + x[−n]] = " { ↑,,} + {,, ↑} # = {/,/, ↑,/,/} Maintenant si nous additionnons xodd [n] et xeven [n], nous obtenons {−/,−/, ↑,/,/} + {/,/, ↑,/,/} = {,, ↑,,} . Pour le signal x[n] = { ↑,,}, nous avons xodd [n] = [x[n] −x[−n]] = " { ↑,,} −{,, ↑} # = {−/,−, ↑,,/} xeven [n] = [x[n] + x[−n]] = " { ↑,,} + {,, ↑} # = {/,, ↑,,/} Maintenant si nous additionnons xodd [n] et xeven [n], nous obtenons {−/,−, ↑,,/} + {/,, ↑,,/} = {,, ↑,,} Exercice 6. Consid´ erons le signal ` a temps discret de la figure , chercher les signaux suivant: a) x[−n] b) x[n + ] c) x[n] d) x[n/] e) x[n −] f) x[n] x[n] -3 -2 uploads/s3/ td5-corrige 1 .pdf
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- Publié le Oct 31, 2022
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