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; Baccalauréat Amérique du Nord Jour 2 19 mai 2022 < ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE

; Baccalauréat Amérique du Nord Jour 2 19 mai 2022 < ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ Le sujet propose 4 exercices Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices Chaque exercice est noté sur 7 points (le total sera ramené sur 20 points). Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte. EXERCICE 1 (7 points) Thème : probabilités, suites Dans une région touristique, une société propose un service de location de vélos pour la journée. La société dispose de deux points de location distinctes, le point A et le point B. Les vélos peuvent être empruntés et restitués indifféremment dans l’un où l’autre des deux points de location. On admettra que le nombre total de vélos est constant et que tous les matins, à l’ouverture du service, chaque vélo se trouve au point A ou au point B. D’après une étude statistique : • Si un vélo se trouve au point A un matin, la probabilité qu’il se trouve au point A le matin suivant est égale à 0,84; • Si un vélo se trouve au point B un matin la probabilité qu’il se trouve au point B le matin suivant est égale à 0,76. À l’ouverture du service le premier matin, la société a disposé la moitié de ses vélos au point A, l’autre moitié au point B. On considère un vélo de la société pris au hasard. Pour tout entier naturel non nul n, on déﬁnit les évènements suivants : • An : « le vélo se trouve au point A le n-ième matin » • Bn : « le vélo se trouve au point B le n-ième matin ». Pour tout entier naturel non nul n, on note an la probabilité de l’évènement An et bn la probabilité de l’évènement Bn. Ainsi a1 = 0,5 et b1 = 0,5. 1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation pour les deux pre- miers matins : A1 ... A2 ... B2 ... B1 ... A2 ... B2 ... 2. a. Calculer a2. b. Le vélo se trouve au point A le deuxième matin. Calculer la probabilité qu’il se soit trouvé au point B le premier matin. La probabilité sera arrondie au millième. 3. a. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation pour les n- ième et n +1-ième matins. Baccalauréat Spécialité A. P. M. E. P. An an An+1 ... Bn+1 ... Bn ... An+1 ... Bn+1 ... b. Justiﬁer que pour tout entier naturel non nul n, an+1 = 0,6an +0,24. 4. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul n, an = 0,6−0,1×0,6n−1. 5. Déterminer la limite de la suite (an) et interpréter cette limite dans le contexte de l’exercice. 6. Déterminer le plus petit entier naturel n tel que an ⩾0,599 et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l’exercice. EXERCICE 2 (7 points) Thème : fonctions, fonction exponentielle Partie A Soit p la fonction déﬁnie sur l’intervalle [−3 ; 4] par : p(x) = x3 −3x2 +5x +1 1. Déterminer les variations de la fonction p sur l’intervalle [−3 ; 4]. 2. Justiﬁer que l’équation p(x) = 0 admet dans l’intervalle [−3 ; 4] une unique solution qui sera notée α. 3. Déterminer une valeur approchée du réel α au dixième près. 4. Donner le tableau de signes de la fonction p sur l’intervalle [−3 ; 4]. Partie B Soit f la fonction déﬁnie sur l’intervalle [−3 ; 4] par : f (x) = ex 1+ x2 On note C f sa courbe représentative dans un repère orthogonal. 1. a. Déterminer la dérivée de la fonction f sur l’intervalle [−3 ; 4]. b. Justiﬁer que la courbe C f admet une tangente horizontale au point d’abscisse 1. 2. Les concepteurs d’un toboggan utilisent la courbe C f comme proﬁl d’un toboggan. Ils estiment que le toboggan assure de bonnes sensations si le proﬁl possède au moins deux points d’in- ﬂexion. 0 1 2 3 4 −1 −2 −3 −4 1 2 3 4 Représentation de la courbe C f C f Vue de proﬁl du toboggan Amérique du Nord 2 19 mai 2022 Baccalauréat Spécialité A. P. M. E. P. a. D’après le graphique ci-dessus, le toboggan semble-t-il assurer de bonnes sensations? Argumenter. b. On admet que la fonction f ′′, dérivée seconde de la fonction f , a pour expression pour tout réel x de l’intervalle [−3 ; 4] : f ′′(x) = p(x)(x −1)ex ¡ 1+ x2¢3 où p est la fonction déﬁnie dans la partie A. En utilisant l’expression précédente de f ′′, répondre à la question : « le toboggan assure- t-il de bonnes sensations? ». Justiﬁer. EXERCICE 3 (7 points) Thème : géométrie dans l’espace Une exposition d’art contemporain a lieu dans une salle en forme de pavé droit de largeur 6 m, de longueur 8 m et de hauteur 4 m. Elle est représentée par le parallélépipède rectangle OBCDEFGH où OB = 6 m, OD = 8 m et OE = 4 m. On utilise le repère orthonormé ³ O ; − → ı , − → , − → k ´ tel que − → ı = 1 6 − − → OB,− → = 1 8 − − → OD et − → k = 1 4 − − → OE. b A B C D E F G H O R S T − → ı − →  − → k Dans ce repère on a, en particulier C(6; 8; 0), F(6; 0; 4) et G(6; 8; 4). Une des œuvres exposées est un triangle de verre représenté par le triangle ART qui a pour sommets A(6; 0; 2), R(6; 3; 4) et T(3; 0; 4), Enﬁn, S est le point de coordonnées µ 3 ; 5 2 ; 0 ¶ . 1. a. Vériﬁer que le triangle ART est isocèle en A. b. Calculer le produit scalaire − − → AR ·− → AT. c. En déduire une valeur approchée à 0,1 degré près de l’angle d RAT. 2. a. Justiﬁer que le vecteur − → n   2 −2 3  est un vecteur normal au plan (ART). b. En déduire une équation cartésienne du plan (ART). 3. Un rayon laser dirigé vers le triangle ART est émis du plancher à partir du point S. On admet que ce rayon est orthogonal au plan (ART). a. Soit ∆la droite orthogonale au plan (ART) et passant par le point S. Justiﬁer que le système ci-dessous est une représentation paramétrique de la droite ∆: Amérique du Nord 3 19 mai 2022 Baccalauréat Spécialité A. P. M. E. P.        x = 3+2k y = 5 2 −2k z = 3k , avec k ∈R. b. Soit L le point d’intersection de la droite ∆, avec le plan (ART). Démontrer que L a pour coordonnées µ 5 ; 1 2 ; 3 ¶ . 4. L’artiste installe un rail représenté par le segment [DK] ou K est le milieu du segment [EH]. Sur ce rail, il positionne une source lumineuse laser en un point N du segment [DK] et il oriente ce second rayon laser vers le point S. b b b A B C D E F G H O R S T − → ı − →  − → k N K L a. Montrer que, pour tout réel t de l’intervalle [0; 1], le point N de coordonnées (0 ; 8−4t ; 4t) est un point du segment [DK]. b. Calculer les coordonnées exactes du point N tel que les deux rayons laser représentés par les segments [SL] et [SN] soient perpendiculaires. EXERCICE 4 (7 points) Thème : fonction logarithme népérien, probabilités Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM) qui comprend six questions. Les six questions sont indépendantes. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justiﬁcation n’est demandée. Une réponse fausse, une réponse multiple ou une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point Question 1 Le réel a est déﬁnie par a = ln(9)+ln Ãp 3 3 ! +ln µ1 9 ¶ est égal à : a. 1−1 2 ln(3) b. 1 2 ln(3) c. 3ln(3)+ 1 2 d. −1 2 ln(3) Question 2 On note (E) l’équation suivante lnx +ln(x −10) = ln3+ln7 d’inconnue le réel x. a. 3 est solution de (E). Amérique du Nord 4 19 mai 2022 Baccalauréat Spécialité A. P. M. E. P. b. 5− p 46 est solution de (E). c. L’équation (E) admet une unique solution réelle. d. L’équation (E) admet deux solutions réelles. Question 3 La fonction f est déﬁnie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par l’expression f (x) = x2(−1+lnx). On note C f sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère. a. Pour tout uploads/s3/ amerique-nord-spe-19-mai-2022-dv.pdf