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Mines Maths 2 PC 2012 — Énoncé 1/4 ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), E

Mines Maths 2 PC 2012 — Énoncé 1/4 ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière PC). ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS 2012 SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PC (Durée de l’épreuve : trois heures) L’usage d’ordinateur ou de calculatrice est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - PC L’énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte. Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre. Equation de la chaleur Dans ce texte on note R l’ensemble des nombres réels, N l’ensemble des nombres entiers positifs ou nuls, N∗= N∖{0} l’ensemble des nombres entiers strictement positifs et Z l’ensemble des entiers relatifs. Le problème est consacré à l’équation de la chaleur monodimensionnelle ; la fonction inconnue 푢déﬁnie dans le domaine [0, 휋] × [0, +∞[ ⊂R2 à valeurs réelles est supposée continue, et de plus indéﬁniment dérivable par rapport à 푥sur ]0, 휋[ et par rapport à 푡sur ]0, +∞[ . L’inconnue 푢est solution du système d’équations suivant : ∂푢 ∂푡(푥, 푡) = ∂2푢 ∂푥2 (푥, 푡) sur ]0, 휋[ × ]0, +∞[ (1) 푢(0, 푡) = 푢(휋, 푡) = 0 ∀푡∈[0, +∞[ : conditions aux limites (2) 푢(푥, 0) = 푓(푥) ∀푥∈[0, 휋] : condition initiale, (3) Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr . Mines Maths 2 PC 2012 — Énoncé 2/4 où 푓désigne une fonction déﬁnie sur l’intervalle [0, 휋] . Dans la suite on prendra comme condition initiale la fonction 푓déﬁnie par 푓(푥) = { 푥 0 ≤푥≤휋/2 휋−푥 휋/2 ≤푥≤휋. (4) La variable 푥est la variable d’espace, 푡est la variable temporelle. 1 Un problème aux valeurs propres On cherche ici à déterminer les valeurs de 휆(valeurs propres) pour lesquelles il existe une solution non nulle de l’équation diﬀérentielle ordinaire 푣′′ + 휆푣= 0 sur [0, 휋] (5) 푣(0) = 푣(휋) = 0. (6) Question 1 Montrer que si 푣est solution de (5)-(6) alors elle est de classe 풞∞sur ]0, 휋[ et que ∫휋 0 푣′′ (푥) 푣(푥) d푥= − ∫휋 0 ( 푣′ (푥) )2 d푥; en déduire que si 푣n’est pas identiquement nulle, alors 휆≥0. Question 2 Pour 휆≤0, déterminer l’ensemble des solutions de (5). En déduire que le système d’équations (5)-(6) n’a pas d’autre solution que la solution nulle. Question 3 Montrer que (5)-(6) possède une solution non nulle si et seulement si ∃푛∈N∗ tel que 휆= 푛2. Pour 푛ﬁxé, déterminer la dimension de l’espace des solutions et en expliciter une base. 2 La série de Fourier de la condition initiale On note 휑la fonction égale à 푓sur [0, 휋] , impaire et prolongée par 2휋-périodicité à R tout entier. Question 4 Tracer la courbe représentative de 휑sur [−5휋/2, 5휋/2] et en préciser le tableau de variation. On note Φ′ (dérivée généralisée), la fonction égale à la fonction dérivée 휑′ sur chaque intervalle de la forme ](2푘−1) 휋/2, (2푘+ 1) 휋/2[ , 푘∈Z et prolongée par continuité sur chaque intervalle ](2푘−1) 휋/2, (2푘+ 1) 휋/2] , 푘∈Z. Question 5 Dessiner le graphe de la fonction Φ′. Soit 푝une fonction R − →R, continue par morceaux et périodique de période 2휋; on pose 푐푛(푝) = 1 2휋 ∫휋 −휋 푝(푥) 푒−푖푛푥d푥, 푛∈Z (7) 푏푛(푝) = 푖(푐푛(푝) −푐−푛(푝)) , 푛∈N∗et 푏0 (푝) = 푐0 (푝) . Question 6 Démontrer que 푐푛(Φ′) = 푖푛푐푛(휑) . Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr . Mines Maths 2 PC 2012 — Énoncé 3/4 Question 7 Calculer 푐푛(Φ′) , en déduire que 푏푛(휑) = 4 휋푛2 sin ( 푛휋 2 ) , 푛∈N∗ (8) et donner l’expression de la série de Fourier de 휑en fonction des 푏푛(휑) . Question 8 En déduire que la série de Fourier de 휑converge normalement. 3 Construction d’une solution de (1)-(2)-(3) Pour tout 푛∈N∗, on déﬁnit la fonction 푢푛sur le domaine [0, 휋] × [0, +∞[ par 푢푛(푥, 푡) = 푏푛(휑) sin (푛푥) 푒−푛2푡, 푛∈N∗, (9) et on note 푢la somme de la série de fonctions ∑푢푛, c’est-à-dire sous réserve de la conver- gence, 푢(푥, 푡) = ∑ 푛≥1 푢푛(푥, 푡) . (10) Question 9 Montrer que pour tout 푛∈N∗, 푢푛est continue sur [0, 휋]×[0, +∞[ , indéﬁniment dérivable par rapport à 푥sur ]0, 휋[ et par rapport à 푡sur ]0, +∞[ , et vériﬁe (1). Question 10 Montrer que la série de fonctions ∑푢푛est convergente sur [0, 휋] × [0, +∞[ et que la somme 푢déﬁnit une fonction continue sur [0, 휋] × [0, +∞[ . Question 11 La série ∑∂푢푛 ∂푡 (휋 2 , 0 ) converge-t-elle ?. Question 12 Soit 훿> 0, montrer que la série de fonctions ∑∂푢푛 ∂푡 converge normalement sur [0, 휋]×[훿, +∞[ . En déduire que la somme 푢déﬁnie selon (10) admet une dérivée partielle par rapport à 푡sur [0, 휋] × [훿, +∞[ et que ∂푢 ∂푡(푥, 푡) = ∑ 푛∈N∗ ∂푢푛 ∂푡(푥, 푡) sur [0, 휋] × ]0, +∞[ . Question 13 La série de fonctions ∑∂푢푛 ∂푡converge-t-elle normalement sur [0, 휋]×[0, +∞[ ? Justiﬁez votre réponse. On admettra dans la suite (raisonnement analogue) que 푢admet des dérivées partielles de tous ordres sur [0, 휋]×]0, +∞[ et qu’elles s’obtiennent par dérivation sous le signe somme. Question 14 Montrer que 푢est solution de (1)-(2)-(3). 4 Unicité de la solution Soit ℎune fonction continue sur [푎, 푏] ⊂R et indéﬁniment dérivable sur ]푎, 푏[ . Question 15 Quel est le signe de ℎ′ (훼) et ℎ′′ (훼) si ℎatteint son maximum en 훼∈]푎, 푏[ ? Justiﬁez votre réponse. On déﬁnit la dérivée à gauche ℎ′ 푔(푏) de ℎen 푏selon la formule ℎ′ 푔(푏) = lim 휀→0+ ℎ(푏) −ℎ(푏−휀) 휀 , Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr . Mines Maths 2 PC 2012 — Énoncé 4/4 si la limite existe. Question 16 Quel est le signe de ℎ′ 푔(푏) si ℎadmet en 푏une dérivée à gauche et y atteint son maximum ? On choisit 푇> 0 et on note 풟푖= ]0, 휋[ × ]0, 푇[ , 풞= (]0, 휋[ × {푇}) , 풟= [0, 휋] × [0, 푇] ℱ= ([0, 휋] × {0}) ∪({0} × [0, 푇]) ∪({휋} × [0, 푇]) , 0 ¼ t x F C T x t 0 ¼ T Di Figure 1 – Partition du domaine Soit 휀> 0, on déﬁnit la fonction 푣휀par 푣휀(푥, 푡) = 푢(푥, 푡) + 휀푥2 où 푢est une solution de (1)-(2)-(3). Question 17 Montrer que 푣휀ne peut atteindre son maximum sur 풟en aucun point de 풟푖∪풞. Notons 푀= max(푥,푡)∈ℱ푢(푥, 푡) . Question 18 Déduire de ce qui précède que 푢atteint son maximum sur ℱ. Question 19 Conclure que la solution de (1)-(2)-(3) est unique. Si 푢est une solution de (1)-(2)-(3) on pose 퐸(푡) = 1 2 ∫휋 0 (푢(푥, 푡))2 d푥, ∀푡≥0. (11) Question 20 Démontrer que 퐸′ (푡) ≤0, ∀푡> 0. En déduire par un autre raisonnement l’unicité de la solution de (1)-(2)-(3). Fin de l’épreuve Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr . uploads/s3/ pc-maths-mines-2-2012-enonce-pdf.pdf