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M´ ethodes math´ ematiques d’analyse et de mod´ elisation appliqu´ ees ` a l’en

M´ ethodes math´ ematiques d’analyse et de mod´ elisation appliqu´ ees ` a l’environnement. Dr. Ir. ´ Eric J.M. DELHEZ Septembre 2008 Chapitre 1 Concepts et outils de l’analyse math´ ematique. 1.1 Fonction et relation. La description des syst` emes passe g´ en´ eralement par l’association de grandeurs entre elles, ce qui se traduit math´ ematiquement par la d´ eﬁnition de fonctions et de relations. Une fonction f est une loi qui, ` a tout ´ el´ ement x d’un ensemble E, appel´ e domaine de d´ eﬁnition de la fonction, associe un et un seul ´ el´ ement f(x) d’un ensemble F. Les ensembles E et F peuvent contenir des ´ el´ ements tr` es diff´ erents de par leur nature (individus, nombre, tenseur,. . . ) ou leur interpr´ etation (temps, temp´ erature, vitesse, esp` ece,. . . ). L’´ el´ ement important dans la d´ eﬁnition d’une fonctions, c’est l’association d’un ´ el´ ement unique de F ` a tout ´ el´ ement de E. Cette association peut parfois ˆ etre explicit´ ee au moyen d’une formule math´ ematique, d’une table, d’un graphe, . . . . Ce n’est cependant pas n´ ecessairement le cas. La notion de relation g´ en´ eralise celle de fonction. Dans une relation, les ´ el´ ements du domaine de d´ eﬁnition E peuvent ˆ etre mis en correspondance avec plusieurs ´ el´ ements de F. Certains ´ el´ ements du domaine de d´ eﬁnition peuvent ´ egalement n’ˆ etre associ´ e ` a aucun ´ el´ ement de F. Par exemple, on peut d´ eﬁnir une relation entre un ensemble de sites E et un ensemble F d’esp` eces indicatrices en associant ` a chaque site les esp` eces qui y sont pr´ esentes. Bien que souvent g´ en´ eralisables ` a des espaces plus g´ en´ eraux, la plupart des outils de l’analyse math´ ematique sont particuli` erement bien adapt´ es ` a l’´ etude des fonctions r´ eelles d’une ou plusieurs variables r´ eelles, i.e. E,F ⊂Rn. On s’efforcera donc autant que possible de traduire sous cette forme les propri´ et´ es physiques, biologiques ou chimiques des syst` emes ´ etudi´ es, donnant ainsi acc` es ` a une description quantitative de l’´ etat des syst` emes et des processus qui s’y d´ eroulent. 1 1.2 Limite et comportement asymptotique. Le calcul de la limite d’une fonction constitue l’outil fondamental de l’analyse math´ ematique continue. Math´ ematiquement, on ´ ecrit : lim x→x0 f(x) = a ∈Rn ⇕ (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈E,0 < |x−x0| ≤δ) : | f(x)−a| ≤ε (1.1) L’existence d’une limite ﬁnie de f pour x tendant vers x0 signiﬁe que l’on peut rendre les valeurs de la fonction f(x) aussi proches que l’on veut de la constante a en consid´ erant des points x ∈E sufﬁsamment proches de x0 (sauf ´ eventuellement x0). Si f est ` a valeur dans R, on ´ ecrira lim x→x0 f(x) = −∞ ou lim x→x0 f(x) = +∞ (1.2) pour signiﬁer que les valeurs de f sont non born´ ees au voisinage de x0. La d´ eﬁnition (1.1) est g´ en´ erale. Dans la suite, nous consid´ ererons quasi exclusivement des fonctions r´ eelles d’une seule variable. Dans ce cas, l’existence de limites particuli` eres se traduit par des asymptotes dans le graphe de f. Ainsi, si lim x→x+ 0 f(x) = ±∞ (1.3) en tous les points x > x0 sufﬁsamment proches de x0, la fonction croˆ ıt ou d´ ecroˆ ıt ind´ eﬁniment et se rapproche aussi pr` es que l’on d´ esire de la droite x = x0. De mˆ eme, si lim x→x− 0 f(x) = ±∞ (1.4) la fonction f(x) approche la droite x = x0 pour des valeurs de x inf´ erieures ` a x0. On dit dans les deux cas que le graphe de f comporte une asymptote verticale en x = x0. Remarquons que ce comportement peut ˆ etre diff´ erent de part et d’autre de x0. De mˆ eme, si lim x→+∞f(x) = a ﬁni (1.5) ou si lim x→−∞f(x) = a ﬁni (1.6) la fonction se rapproche ind´ eﬁniment de la droite horizontale y = a ` a mesure que x croˆ ıt ou d´ ecroˆ ıt. On dit que le graphe de la fonction y = f(x) poss` ede une asymptote horizontale y = a. Dans le cas o` u les limites peuvent s’´ ecrire lim x→±∞f(x) = a− ou lim x→±∞f(x) = a+ (1.7) f approche l’asymptote horizontale par le dessous ou par le dessus. 2 EXEMPLE 1.1 Consid´ erons la fonction de Michaelis-Menten d´ ecrivant la variation du taux de croissance µ d’une esp` ece phytoplanctonique en fonction de la concentration en nutriment [N] dans le milieu : µ([N]) = µmax [N] [N]+κ o` u κ d´ esigne la constante de demi-saturation (Fig. 1.1). [N] µ([N]) µmax µmax 2 κ FIG. 1.1 On calcule ais´ ement lim [N]→0µ([N]) = 0 et lim [N]→+∞µ([N]) = µmax Le premier r´ esultat indique que le taux de croissance est tr` es faible lorsque la concentration en nutriment est proche de z´ ero (Plus exactement, le taux de croissance peut ˆ etre rendu arbitrairement petit en consid´ erant des concentrations proches de z´ ero.). Le second r´ esultat montre que le taux de croissance est proche de la valeur µmax lorsque les concentrations sont ´ elev´ ees. ´ Ecrivant µ([N]) sous la forme µ([N]) = µmax 1− 1 [N]/κ+1 < µmax (♭) on v´ eriﬁe ais´ ement que µ([N]) approche sa valeur limite par valeur inf´ erieure, i.e. que le graphe de µ([N]) est situ´ e sous l’asymptote. Ceci s’´ ecrit lim [N]→+∞µ([N]) = µ− max L’´ ecriture de la loi de Michaelis-Menten sous la forme ♭montre ´ egalement que le comportement de µ d´ epend essentiellement du rapport [N]/κ. Nous reviendrons sur ce point lors de l’´ etude des variables adimensionnelles. Nous pouvons cependant d´ ej` a remarquer que la constante κ apparaˆ ıt comme une concentration caract´ eristique par rapport ` a laquelle la concentration [N] peut ˆ etre compar´ ee. Ainsi, l’asymptote horizontale µ = µmax est bien approch´ ee lorsque la concentration [N] est grande par rapport ` a κ. De mˆ eme, le taux de croissance sera faible lorsque [N] est lui-mˆ eme petit par rapport ` a la constante de demi-saturation. ⋄ 3 La notion d’asymptote oblique est introduite dans le cas o` u on peut trouver des r´ eels a et b ﬁnis tels que lim x→+∞f(x) = ±∞, lim x→+∞ f(x) x = a et lim x→+∞ h f(x)−ax i = b (1.8) ou lim x→−∞f(x) = ±∞, lim x→−∞ f(x) x = a et lim x→−∞ h f(x)−ax i = b (1.9) Dans ce cas, la fonction f ﬁnit par se rapprocher ind´ eﬁniment de la droite oblique y = ax+b qui est l’´ equation de l’asymptote oblique de f. Dans les cas o` u lim x→±∞ h f(x)−ax i = b− ou lim x→±∞ h f(x)−ax i = b+ (1.10) on peut encore pr´ eciser si f approche l’asymptote oblique par le dessous ou par le dessus. EXEMPLE 1.2 Esquissons le graphe de la fonction f(x) = x2 −x−6 x+1 Cette fonction est d´ eﬁnie pour tout x r´ eel ` a l’exception de x = −1. En ce point, on a lim x→−1−f(x) = +∞ et lim x→−1+ f(x) = −∞ Le graphe de f comporte donc une asymptote verticale en x = −1. ` A l’inﬁni, on obtient lim x→−∞f(x) = −∞ et lim x→+∞f(x) = +∞ Si on calcule les limites lim x→−∞ f(x) x = 1 = lim x→+∞ f(x) x et lim x→−∞(f(x)−x) = −2 = lim x→+∞(f(x)−x) on en d´ eduit la pr´ esence d’une asymptote oblique y = x−2 aussi bien en −∞qu’en +∞. Ce r´ esultat peut aussi ˆ etre obtenu directement en r´ e´ ecrivant la fonction sous la forme f(x) = x2 −x−6 x+1 = x−2− 4 x+1 o` u le dernier terme tend vers z´ ero lorsque x tend vers ±∞. D` es lors, pour de grandes valeurs de |x|, 4/(x+1) devient n´ egligeable vis ` a vis de x −2 et f(x) se rapproche ind´ eﬁniment de l’asymptote oblique. Lorsque x est grand et positif, le terme 4/(x + 1) est petit et positif de sorte que f(x) approche l’asymptote par d´ efaut. Pour x n´ egatif, c’est l’inverse qui se produit et f(x) est alors l´ eg` erement sup´ erieure ` a x−2. 4 Si on ajoute ` a ces r´ esultats que f(x) s’annule en x = −2 et x = 3, une esquisse du graphique de f(x) est donn´ e par x y y = x2 −x−6 x+1 y = x−2 x = −1 −2 2 3 FIG. 1.2 ⋄ Lorsqu’une fonction poss` ede une asymptote en x →+∞, l’´ ecart entre le graphique de la fonction et celui de son asymptote peut ˆ etre rendu arbitrairement petit ` a condition uploads/s3/ main 1 .pdf