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On dispose des six premières lettres. 1. Combien de sigles de 6 lettres distinc

On dispose des six premières lettres. 1. Combien de sigles de 6 lettres distinctes peut-on former ? 2. Combien de sigles de 4 lettres distinctes peut-on former ? 3. Combien de sigles de 4 lettres peut-on former ? Solution fiche TD 01.DENOMBREMENT CALCUL DE PROBABILITES Exercice 1. ARRANGEMENTS. SOLUTION. 1. Nombre de permutation avec répétitions. On dispose des six premières lettres. c'est-à-dire à une suite de 6 lettres, chacun étant pris parmi les 6 lettres possibles { a ,b ,c, d, e, f }. On 6 lettres distinctes (différent) donc P6= 6 ! Façons de former un sigle. 2. Nombre d'arrangements sans répétition de quatre lettres. Nombre de sigles de 4 lettres différents Il A4 = 6 ! ! = 90 façons de former 4 lettres différentes parmi six lettres possibles, 6 (6-4) ! 3. Nombre d'arrangements avec répétition de quatre lettres. Il y a 64 façons de former 4 lettres qui sera utilisé 6 fois et les deux chiffres. Huit personnes se répartissent dans deux voitures de quatre places. Combien de possibilités peut-on dénombrer ? : Un ensemble contient 6 femmes et 7 hommes, combien de jurys différents peut-on former : . De 4 personnes quelconques. . De 4 hommes. . D’un homme et 3 femmes. . De 2 hommes et 3 femmes. Exercice 3. COMBINAISONS. SOLUTION. 1.Nombre de façons de dénombrer 8 personnes dans deux voitures de 4 places. Il y a 2 x C4 126 façons de dénombrer 8 personnes dans deux voitures de 4 places. 8 Exercice 5. SOLUTION. 1.Nombre de façons de former jurys de 4 personnes quelconques. 1. Il y a C4 13 3.D’un homme et 3 femmes. C1  C3 7 6 Exercice 7. PROBABILITES. Une étude de la population d'une grande ville de province a fait apparaître que pendant un mois : 35 % des personnes sont allées au cinéma, 12 % des personnes sont allées au musée, 6 % des personnes sont allées aux deux. Calculer la probabilité que, pendant ce mois, une personne ait fait les choix suivants : a) Aller au cinéma ou au musée, b) Ne pas aller au cinéma, c) N'aller ni au cinéma, ni au musée, d) Aller au cinéma mais pas au musée. SOLUTION. Les résultats de l'étude peuvent être présentés sous forme de tableau : Sont allées au musée Ne sont pas allées au Musée Total Sont allées au cinéma 6 % 35 % Ne sont pas allées au cinéma Total 12 % Les cases vides du tableau peuvent être complétées par différence : Sont allées au musée Ne sont pas allées au musée Total Sont allées au cinéma 6 % 29 % 35 % Ne sont pas allées au cinéma 6 % 59 % 65 % Total 12 % 88 % 100 % Ce tableau montre que : 59 % des personnes ne sont allées ni au cinéma, ni au musée, donc, par différence, 41 % sont allées au cinéma ou au musée. 65 % des personnes ne sont pas allées au cinéma. 29 % sont allées au cinéma mais ne sont pas allées au musée. 57 100 Exercice 7. PROBABILITES. Dans un laboratoire se trouve une cage avec 100 souris présentant deux caractères : sexe (mâle ou femelle), couleur (blanche ou noire) ; 87 sont mâles, 57 sont blanches et 55 sont mâles et blanches. 1°/ Donner l'effectif par catégorie. 2°/ Une assistante prend une souris au hasard. Calculer la probabilité pour qu'elle obtienne une souris blanche ou une souris mâle. 3°/ Elle décide de choisir 6 souris. Calculer la probabilité qu'elle obtienne 6 souris blanches si les prélèvements sont réalisés : a) avec remise b) sans remise SOLUTION. 1.Tableau des effectifs. Les quatre données de l'énoncé permettent de remplir le tableau des effectifs, suivant les caractères. Mâle Femelle Total Blanche 55 2 57 Noire 32 11 43 Total 87 13 100 2.Probabilité de tirer une souris blanche ou mâle. Soit B = « La souris est blanche » M = « La souris est mâle » P ( B  M ) = P ( B ) + P ( M ) - P ( B  M ) = 0,57 + 0,87 - 0,55 = 0,87 + 0,02 = 0,89. 3.Probabilité de tirer 6 souris blanches dans un tirage avec remise. Dans un tirage, la probabilité de tirer une souris blanche est P ( B ) = 0,57. Dans 6 tirages indépendants, la probabilité de tirer 6 souris blanches est P ( 6 B ) = ( 0,57 )6 = 0,034296447249  3,43  10-2. 4.Probabilité de tirer 6 souris blanches en 6 tirages sans remise. Pour n = 1 à 6, quand on a déjà tiré n - 1 souris blanches, la probabilité de tirer une souris blanche au n-ième 57  ( n  1) tirage est 100  ( n  1) . La probabilité de tirer 6 souris blanches en 6 tirages successifs sans remise est alors le produit des probabilités : P ( 6 B ) = 57 56 55  54  53  52  3,04  10-2. 100 99 98 97 96 95 Cette probabilité peut être calculée en faisant le rapport du nombre de cas favorables C6 au nombre de cas possibles C6 : P ( 6 B ) = 6 57 6 100 = 36288252 1192052400 = 2067 67900 = 0,030441826215  3,04  10-2 C C Les cultures de tissus végétaux peuvent être infectées soit par des champignons, soit par des bactéries. La probabilité d'une infection p La probabilité d'infection par une bactérie est 8 %. 1°/ Quelle est la probabilité d'une infection simultanée par champignons et bactéries, dans le cas où les infections sont indépendantes, dans le cas où les infections n'étant pas indépendantes, la probabilité d'infection par les bactéries quand on a une infection par les cham %B CP (B C) Total 8 92 Total 15 85 100 La probabilité d'une infection simultanée par champignons et bactéries est 1,2 %. La probabilité d'une infection simultanée par bactéries et champignons est 0,6 %. Exercice 9 SOLUTION. Nous noterons : B l'évènement : " La culture est infectée de bactéries ", C l'évènement : " La culture est infectée de champignons ". Données : 1. Probabilité d'infection simultanée par champignons et bactéries. 1.1. Infections indépendantes. On cherche la probabilité de l'évènement B  C. Par définition de l'indépendance en probabilité, on a : P (B  C) = P ( B ) × P ( C ) = 0,08 × 0,15 = 0, 012 2.2 Infections n'étant pas indépendantes. P (B  C) = P ( C ) × P ( B | C ) = 0,15 × 0,04 = 0, 006 Un nouveau vaccin a été testé sur 12500 personnes ; 75 d'entre elles, dont 35 femmes enceintes, ont eu des réactions secondaires nécessitant une hospitalisation. 1°/ Sachant que ce vaccin a été administré à 680 femmes enceintes, quelle est la probabilité qu'une femme enceinte ait eu ne réaction secondaire si elle reçoit le vaccin ? 2°/ Quelle est la probabilité qu'une personne non enceinte ait une réaction secondaire ? Solution fiche TD 02 PROBABILITES CONDITIONNELLES INDEPENDANCE EN PROBABILITE Exercice 1. SOLUTION. 1.Probabilité de réaction secondaire pour une femme enceinte vaccinée. Les données de l'énoncé peuvent être présentées dans un tableau : Réactions secondaires Pas de réaction secondaire Total Femme enceinte 35 680 Personne non enceinte Total 75 12500 et ce tableau peut être complété par différences : Réactions secondaires Pas de réaction secondaire Total Femme enceinte 35 645 680 Personne non enceinte 40 11780 11820 Total 75 12425 12500 35 femmes enceintes sur 680 présentent une réaction secondaire nécessitant une hospitalisation. La probabilité de réaction secondaire pour une femme enceinte est donc 35 = 7  5,1  10-2. 680 136 2.Probabilité de réaction secondaire pour une personne non enceinte vaccinée. Le tableau précédent montre que 40 personnes non enceintes vaccinées sur 11 820 présentent une réaction secondaire nécessitant une hospitalisation. La probabilité de réaction secondaire pour une personne non enceinte est donc 40 = 2  3,4  10-3. 11820 591 Exercice 02 : On a interrogé des élèves de terminale sur leurs loisirs : 50% d’entre eux déclarent aimer la lecture et 75% déclarent aimer le sport. De plus, 40% des élèves déclarent aimer la lecture et le sport. On rencontre au hasard l’un de ces élèves. On considère les ´évènements L : ”L’élève aime la lecture” et S : ”L’élève aime le sport” 1. Donner les probabilités des évènements L, S et L ⊓ S 2. Quelle est la probabilité que l’élève aime le sport sachant qu’il aime la lecture ? 3. Quelle est la probabilité que l’élève aime la lecture sachant qu’il aime le sport ? Solution de l’exercice r´esolu 2 1. Cette question est une traduction des donn´ees de l’exercice. On a : P(L) = 0, 5 ; P(S) = 0, 75 ; P (L ∩ S) = 0, 4. 2.(P(L)  0 donc PL(S) est bien définie) PL(S) = P(L ∩ uploads/s3/ correction-fiche-td01-et-02.pdf