Ecole Préparatoire en Sciences et Techniques d'Oran. 2011-2012. Corrigé du devo

Ecole Préparatoire en Sciences et Techniques d'Oran. 2011-2012. Corrigé du devoir surveillé N ◦1 Module : Algèbre I. Première année Exercice 1. (05 pts) -Ecrire à l'aide de quanti cateurs et de connecteurs lo- giques les implications suivantes : 1. Si n est entier naturel tel que n2 est impair, alors n est impair.(01 pts) 2. Si n est entier naturel tel que (n2−1) n'est pas divisible par 8, alors l'entier n est pair.(01 pts) -Ecrire les contraposées des propositions précédentes.(02 pts) -Montrer la contraposée de la première proposition.(0,5 pts) -A-t-on démontré l'implication 1 ?(0,5 pts) Correction 1. 1. ∀n ∈N : ∃k ∈Z; n2 = 2k + 1  = ⇒(∃k′ ∈Z; n = 2k′ + 1)  ou bien ∀n ∈N : n2 impair  = ⇒(n est impair)  2. ∀n ∈N : n2 −1 ̸= 8k, ∀k ∈Z  = ⇒(∃k′ ∈Z; n = 2k′)  ou bien ∀n ∈N : n2 −1 n′est pas divisible par 8  = ⇒(n est pair)  La contraposition : 1'- Si n est pair alors n2 est pair. Formellement : ∀n ∈N :  (∃k ∈Z; n = 2k) = ⇒ ∃k′ ∈Z; n2 = 2k′ 2'- Si n est impair alors n2 −1 est divisible par 8. Formellement : ∀n ∈N :  (∃k ∈Z; n = 2k + 1) = ⇒ ∃k′ ∈Z; n2 −1 = 8k′ Montrons 1' :Si n est pair, alors il s'écrit n = 2k où k est entier. Mais n2 = (2k)2 = 4k2 = 2(2k) est donc pair. -Pour le principe de la contraposition, on a démontré l'implication 1. Exercice 2. (05 pts) Soit E = {a}. Déterminer P(E)(0,5 pts), P(P(E))(01,5 pts) et P(P(P(E)))(03 pts). Correction 2. On a P(E) = {E, φ}. P(P(E)) = {P(E), {E}, {φ}, φ}. P(P(P(E))) = {P(P(E)), {P(E)}, {{E}}, {{φ}}, {φ}, φ, {P(E), {E}}, {P(E), {φ}}, {P(E), φ}, {{E}, {φ}}, {{E}, φ}, {{φ}, φ}, {P(E), {E}, {φ}}, {P(E), {E}, φ}, {P(E), {φ}, φ}, {{E}, {φ}, φ}}. Remarque : ne pas confondre {φ} et φ, card{φ} = 1, cardφ = 0. Exercice 3. (07 pts) Soient E un ensemble ni non vide, et f une application de P(E) dans P(E) véri ant : (a) f(φ) = φ. (b) ∀A, B ∈P(E); f(A ∪B) = f(A) ∪f(B). (c) ∀A ∈P(E); cardA ≤cardf(A). I- Montrer que ∀A, B ∈P(E) : A ⊂B = ⇒ f(A) ⊂f(B)(01pts) f(A ∩B) ⊂ f(A) ∩f(B)(01 pts) - Montrer que f(E) = E.(01 pts) II- Soient A, B ∈P(E) telles que :cardA = cardf(A) et cardB = cardf(B) Montrer que : card(A ∪B) = cardf(A ∪B)(01, 5pts) card(A ∩B) = cardf(A ∩B)(01, 5pts) Indication :card(A ∪B) = cardA + cardB −card(A ∩B) III- Soit E un ensemble non vide, on dé nit pour tout A ∈P(E) l'application χA : E − →{0, 1} telle queχA(x) =  1 si x ∈A 0 si x ̸∈A χA s'appelle la fonction caractéristique de A. Montrer que : 1. χA ≤χB ⇐ ⇒A ⊂B(0,5 pts) 2. χA = χB ⇐ ⇒A = B(0,5 pts) Correction 3. I-Montrons que pour A, B ⊂E telle que A ⊂B alors f(A) ⊂f(B) : A ⊂B = ⇒B = A ∪(B\A) = A ∪∁BA. Donc : f(B) = f(A ∪∁BA) = f(A) ∪f(∁BA) d'après (b) alors : f(A) ⊂f(B). -Montrons que f(A ∩B) ⊂f(A) ∩f(B) : On a A ∩B ⊂A = ⇒ f(A ∩B) ⊂f(A) A ∩B ⊂B = ⇒ f(A ∩B) ⊂f(B)  = ⇒f(A ∩B) ⊂f(A) ∩f(B) -Montrons que f(E) = E : Comme f est une application de P(E) dans P(E) on a : ∀A ∈P(E) : f(A) ∈P(E). Et donc f(A) ⊂E. Ainsi, pour A = E on obtient f(E) ⊂E, d'où cardf(E) ≤cardE. On a aussi cardE ≤cardf(E)( hypothèse (c)) Doù, cardE = cardf(E) = ⇒f(E) = E. II-Montrons que : Si A, B ∈P(E) telles que :cardA = cardf(A) et cardB = cardf(B) on a : 1. card(A ∪B) = cardf(A ∪B) card(A ∪B) = card(f(A) ∪f(B)) = cardf(A) + cardf(B) −card(f(A) ∩f(B)) on a : cardA ∩B ≤cardf(A ∩B) ≤cardf(A) ∩cardf(B) (à l'aide de 1) donc cardf(A ∪B) ≤ cardf(A) + cardf(B) −cardf(A ∩B) ≤ card(A) + card(B) −card(A ∩B) = card(A ∪B) Mais par hypothèse card(A ∪B) ≤cardf(A ∪B). Donc cardf(A ∪B) = card(A ∪B) 2. De la même façon on démontre que card(A ∩B) = cardf(A ∩B) III-Montrons que : 1. χA ≤χB ⇐ ⇒A ⊂B 2. χA = χB ⇐ ⇒A = B χA ≤χB ⇐ ⇒ ∀x ∈E, χA(x) ≤χB(x) ⇐ ⇒ ∀x ∈A, χB(x) = 1 ⇐ ⇒ A ⊂B On en déduit facilement que χA = χB ⇐ ⇒A = B. Exercice 4. (03 pts) Soient E un ensemble non vide et R une relation d'équi- valence sur E. -Montrer que deux classes sont disjointes ou égales.(01,5 pts) -Prouver que l'ensemble quotient E/R est une partition de E.(01,5 pts) Correction 4. 1. Soit ˙ x, ˙ y deux classes d'équivalence disjointes, montrons que ˙ x = ˙ y Comme ˙ x ∩˙ y ̸= φ, alors il existe z ∈˙ x ∩˙ y = ⇒ z ∈˙ x et z ∈˙ y = ⇒ zRx et zRy = ⇒ xRz et zRy = ⇒ xRy = ⇒ ˙ x = ˙ y Ainsi, ˙ x ∩˙ y ̸= φ = ⇒˙ x = ˙ y. Autrement dit, ˙ x ̸= ˙ y = ⇒˙ x ∩˙ y = φ ce qui montre que deux classes d'équivalence sont disjointes ou égales. 2. Montrons que l'ensemble quotient E/R est une partition de E. On a E/R = { ˙ x; x ∈E}. Or, ˙ x = {y ∈E; yRx}. D'où,∪x∈E ˙ x = E et d'après la première question deux classes d'équiva- lence ˙ x, ˙ y dierentes de E/R sont disjointes c'est-à-dire ˙ x ∩˙ y = φ. Ainsi E/R est une partition de E GHERBI Abdellah :Chargé de Cours KARA ZAÏTRI Lydia :Chargé de TD OUEJDI linda :Chargé de TD ZENNIR Khaled :Chargé de TD uploads/s3/ corrige-ds1-algebre1.pdf

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Administrationalors card(a {p(e) cardf(a ∈p(e)
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