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MATHEMATIQUES 1/6 01 G 26 A 18 Séries : S2-S4-S5 Epreuve du 1er groupe CORRIGE

MATHEMATIQUES 1/6 01 G 26 A 18 Séries : S2-S4-S5 Epreuve du 1er groupe CORRIGE EXERCICE 1 1) a) ; . 0 0 lim ) ( lim       x x x F ; . 1 1 lim ) ( lim       x x x F b) Soit U l’ensemble des valeurs possibles de X si – ; 1) = 1) = si ; 1) + = = = si 1) + = = si 1 = + . si 1 . -1 0 1 2 3 c) + = = . = + + = = . d) + (0 + (1 + + ( = + + + e) √ ; – = 2 = (1 + + + ( + + + . = . √ √ √ 2) a) b) Soit l’ensemble des valeurs possibles de . ; ; ; ; . MATHEMATIQUES 2/6 01 G 26 A 18 Séries : S2-S4-S5 Epreuve du 1er groupe -1 0 1 2 3 Y et X ont la même loi de probabilité. EXERCICE 2 1) (√ √ ) (√ ) (√ ) (√ ) (√ ) – = 0 = = (√ √ )  = √ √ ou = √ √ {√ √ √ √ } 2) a) est une solution de l’équation  - - = 0  )= 0  1 =0 2 2 ; . donc b) Comme – est une racine de , donc il existe un polynôme tel que – . Les solutions de l’équation sont : et les racines de .  –  √ √ ou √ √ { √ √ √ √ } 3) a) √ √ √ √ √ √ . b) MATHEMATIQUES 3/6 N° 1 G 26 A 18 Séries : S2-S4-S5 Epreuve du 1er groupe 4) a) ̅ √ √ b) √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ (√ √ ) (√ √ ) (√ √ ) = [(√ ) √ ] (√ ) (√ ) (√ ) (√ ) √ √ = √ √ √ √ ( √ ) √ = √ √ √ √ √ √ ( ) ( ) | | | | | | | |  est isocèle de sommet principal . 5) a) Soit le plan   √ √ √ √ est le symétrique de par rapport ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ O √ . √ √ √ √                  b i a i b i a i 2 2 1 2 2 2 1 2 1 √ √ – D’où ( – ) 1 2 MATHEMATIQUES 4/6 01 G 26 A 18 Séries : S2-S4-S5 Epreuve du 1er groupe 1 – i 1, donc est la similitude de centre de rapport et d’angle . | | | | √ √ √ [ ] [ ] est la similitude de centre , de rapport √ et d’angle . b) (C ’) est le cercle de centre et de rayon √ ; √ = √ est le cercle de centre et de rayon √ PROBLEME PARTIE A 1) L’équation caractéristique de est : où 2) a) est solution de                                1 1 0 1 1 0 1 0 4 4 4 4 b a b a b a a b a a 1  b . c) , , , , Les solutions de sont les fonctions définies sur et de la forme , où d) f(0) = 2 ( (0) + µ) e-2(0) – 0 + 1 = 2 µ + 1 = 2 µ = 1 – 2 – 1 = - 2 - 2µ - 1 = - 2 - 2 (1) – 1 = - 2 - 3 = - 2 = 1. = 1 et µ = 1 ; d’où . PARTIE B 1) a) Soit x  [0, +[. f’(x) = e-2x – 2x e-2x – 2 e-2x – 1 = - e-2x – 2x e-2x – 1 f’’(x)= 2 e-2x – 2 [e-2x – 2x e-2x] = 2 e-2x – 2 e-2x + 4x e-2x = 4x e-2x. MATHEMATIQUES 5/6 N° 1 G 26 A 18 Séries : S2-S4-S5 Epreuve du 1er groupe b) x  [0, +[, f’’(x) = 4x e-2x. x  [0, +[, e-2x > 0, donc f’’(x) est du signe de x, donc f’’(x) 0. f’(0) = - 2 ; f’(x) = - e-2x -      x x 2 lim 1 ) ( ' lim ; 0 2 2 lim ; 0 2 lim         x f x x e x x x e x x 0 + f’’(x) 0 + -1 f’ -2 c) x  [0, +[, f’(x)  [-2, -1[  f’(x) < 0 2) 0 1 ln ) ( lim ; 1 1 lim lim 1 lim               x f x x x x x x x x                         ) ( 1 lim 1 ln 1 lim 0 1 1 lim x f x x x x x x x x < -1, x < 1, x(x+1) > 0  f’(x) < 0. x - -1 f’(x) - 0 f - 3) f(0) = 2 ; x  [0, +[, f(x) = x ( ) 0 1 lim ; 0 lim ; 0 lim ; lim 2 2                 x x e e x x x x x x x               ) ( lim ; 1 1 1 lim 2 2 x f x x e e x x x x MATHEMATIQUES 6/6 N° 1 G 26 A 18 Séries : S2-S4-S5 Epreuve du 1er groupe x - -1 0 + - -2 - 0 2 - - 4) ]  [ ]  [  ]  [ . est continue et strictement décroissante sur [  [, donc est une bijection de [ [ sur [ [ ]  ] Or ]  ], donc il existe un unique [ [ tel que . En conséquence l’équation admet une unique solution . + – + – = – . 5) – . Or 0 2 2 lim       x e x e x x , donc la droite (D) d’équation est asymptote oblique à (C f) en . f(x) – (–x +1) = x e–2x + e–2x = e–2x (x + 1) x 0, e–2x > 0 et x + 1 > 0, donc  [ [ –  (C f) est au-dessus de (D). 6) , 0 ) ( lim    x f x donc la droite d’équation est asymptote horizontale à (C f) en . , ) ( lim 1      x f x donc la droite d’équation est asymptote verticale à (C f). + 0,27 ; ln uploads/s3/ corrige-maths-1er-gr-s2s2as4s5-2018.pdf