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IUT Robert Schuman C. Boubel, Mathématiques Département Chimie 2011 Algèbre lin

IUT Robert Schuman C. Boubel, Mathématiques Département Chimie 2011 Algèbre linéaire – Cours Les informations à connaître sans hésitation sont sur fond grisé . Les quelques remarques / / en plus petits caractères / /ne sont pas indispensables à la compréhension. I Espaces vectoriels I.1 Espaces vectoriels Déﬁnition Un ensemble de vecteurs, dit « espace vectoriel » est un ensemble de choses que l’on peut : – additionner entre elles, – multiplier par des nombres, avec toutes les propriétés naturelles de cette addition et de cette multiplication (existence d’un vecteur nul, associativité de +, distributivité etc. 1) Autrement dit, les vecteurs sont « presque » des nombres ; ils sont comme des nombres, sauf qu’ils ne se multiplient pas entre eux. Les propriétés des vecteurs sont les propriétés d’addition et de multiplication des vecteurs du plan ou de l’espace, que vous connaissez bien et qui se traduisent par des dessins. Cependant, dès qu’un ensemble d’objets mathématiques vériﬁe cette double propriété, c’est un ensemble de « vecteurs », que ces derniers correspondent à des vecteurs du plan ou de l’espace au sens intuitif, ou pas. Je choisis délibérément le terme très vague d’« objets », tant les vecteurs et les espaces vectoriels peuvent être présents à travers des réalités très diverses, en mathématiques et en sciences. Remarque. Ce n’est jamais un objet seul qui est ou n’est pas un vecteur, mais un ensemble d’objets, que l’on peut additionner entre eux etc., qui est alors un ensemble de vecteurs : un espace vectoriel. Exemples. Exercice : trouver des exemples. Vocabulaire. L’algèbre linéaire est l’étude des propriétés des espaces vectoriels et de tous les concepts construits à partir d’eux. Remarque. Dans le 2ème tiret de la déﬁnition, je n’ai pas précisé si les nombres en question sont réels ou complexes. Le plus souvent pour vous, il s’agit de nombres réels, et donc d’un « espace vectoriel réel ». Vous pourrez parfois rencontrer des ensembles d’objets pouvant être multipliés par des nombres complexes. Il s’agira d’« espaces vectoriels complexes ». Les fonctions d’onde des électrons, en atomistique, sont par exemple des éléments d’un tel espace. Vocabulaire. En algèbre linéaire, il est courant d’appeler les nombres des scalaires, du latin scala, échelle. En eﬀet, les nombres (réels) s’ordonnent des plus petits vers les plus 1. Voici la liste complète exacte de ces propriétés. (a1) L’addition est associative : (− → u + − → v ) + − → w = − → u + (− → v + − → w ). (a2) L’addition est commutative : − → u + − → v = − → v + − → u . . (a3) Il existe un vecteur, dit vecteur nul, noté − → 0 , tel que − → u + − → 0 = − → u pour tout vecteur − → u . (a4) Tout vecteur − → u a un opposé, noté −− → u , tel que − → u + (−− → u ) = − → 0 . (b1) 1.− → u = − → u . (b2) α.(− → u + − → v ) = α.− → u + β.− → v . (b3) (α + β).− → u = α.− → u + β.− → u . (b4) α.(β.− → u ) = (αβ).− → u . 1 grands, comme le long d’une échelle. Cela les diﬀérencie des vecteurs 2. / / Aujourd’hui, on appelle « scalaire » tout nombre, par opposition à un vecteur, même dans le monde des espaces vectoriels complexes où les nombres sont des nombres complexes. / / On note souvent les scalaires par des lettres grecques, contrairement aux vecteurs, notés par des lettres latines, parfois surmontées d’une ﬂèche : − → u ou grasses : u. Vocabulaire. Si E est un espace vectoriel, et si F est un sous ensemble de E qui est lui aussi un espace vectoriel (pour les mêmes addition et multiplication), on dit que F est un sous-espace vectoriel de E. Exemples : parmi les vecteurs E de l’espace, l’ensemble F des vecteurs horizontaux, ou celui F ′ des vecteurs verticaux, sont des sous-espaces vectoriels de E, mais ni le sous-ensemble S des vecteurs de norme égale à un, ni le sous-ensemble A des vecteurs dont la coordonnée verticale vaut 1, ne le sont. D’autres exemples : voir l’exercice 1 de la feuille d’exercices. I.2 Combinaisons linéaires L’opération fondamentale eﬀectuée sur des vecteurs est la combinaison linéaire. Déﬁnition Si − → u1, − → u2, . . . , − → un sont des vecteurs, et si α1, α2, . . . , αn sont des scalaires, alors on dit que le vecteur : − → v = α1− → u1 + α2− → u2 + . . . + αn− → un = n X i=1 αi− → ui est une combinaison linéaire des vecteurs − → u1, − → u2, . . . , − → un. Il est fabriqué à partir des − → ui, à l’aide des deux opérations possibles sur des vecteurs : multiplication par des nombres et addition entre eux. Toute l’algèbre linéaire repose sur cette notion. Trois notions également fondamentales sont alors tirées de celle de combinaison linéaire. (i) Vecteurs engendrés, familles génératrices. Si un certain vecteur − → w est combinaison linéaire de vecteurs − → u1, − → u2, . . . , − → un, on dit que − → w est engendré, ou linéairement engendré, par les vecteurs − → ui. Propriété/Déﬁnition Dans un espace vectoriel E, l’ensemble de tous les vecteurs engen- drés par les vecteurs donnés − → ui est un sous-espace vectoriel de E. Si ce sous-espace est E tout entier, on dit que la famille (− → u1, − → u2, . . . , − → un) engendre E, ou est génératrice de E. Exercice Donner des vecteurs de l’espace tels que le sous-espace qu’ils engendrent est le sous-espace F des vecteurs horizontaux, ou celui F ′ des vecteurs verticaux. Sur un dessin, l’espace vectoriel engendré par les vecteurs − → u1, − → u2, . . . , − → un est l’espace correspondant au « quadrillage » qui se construit à partir d’eux. 2. Selon l’Oxford English Dictionary, cette terminologie a été probablement introduite par le mathéma- ticien et physicien irlandais William Rowan Hamilton en 1846. En construisant les quaternions, une sorte de généralisation des nombres complexes, il a appelé « scalaire » leur partie réelle. Il explique que les nombres réels se rangent de gauche à droite comme le long d’une échelle, alors qu’on ne peut ordonner ainsi les nombres complexes ou les quaternions : the algebraically real part may receive, according to the question in which it occurs, all values contained on the one scale of progression of numbers from negative to positive inﬁnity ; we shall call it therefore the scalar part. Cette information a été trouvée via wikipedia. 2 (ii) Familles libres ou liées. Supposons donnée une famille (− → u1, − → u2, . . . , − → un) de vecteurs. Déﬁnition On dit que la famille (− → u1, − → u2, . . . , − → un) est liée si l’un des − → ui est combinaison linéaire des autres : − → uj = α1− → u1 + α2− → u2 + . . . + αj−1− − → uj−1 + αj+1− − → uj+1 + . . . + αn− → un = n X i = 1 i ̸= j αi− → ui pour certains αi bien choisis. Dit en termes imagés, la famille (− → u1, − → u2, . . . , − → un) est dite liée dès qu’on peut fabriquer un des − → ui à partir des autres (par les opérations qui existent sur les vecteurs : multiplication par des nombres et addition entre eux). Déﬁnition Inversement, on dit que la famille est libre, ou linéairement indépendante, si aucun de ses vecteurs − → ui n’est combinaison linéaire des autres. La seule manière de montrer qu’une famille est liée est donc de montrer qu’un de ses vecteurs est combinaison linéaire des autres. Pour montrer qu’une famille est libre, il faut montrer qu’aucun de ses vecteurs ne l’est. Exercice et remarque Ceci revient à montrer que, si α1, . . . , αn sont des scalaires tels que Pn i=1 αi− → ui = − → 0 , alors c’est que tous les αi sont nuls. Cette dernière propriété est la déﬁnition standard d’une famille libre. J’ai présenté plus haut une variante de cette déﬁnition, un peu plus lourde à exprimer et à vériﬁer, mais peut-être plus parlante. Le fait que (− → u1, − → u2, . . . , − → un) soit libre ou liée apparaît aussi sur un dessin, si l’on peut dessiner la famille. En eﬀet, dire que − → uj est combinaison linéaire des autres vecteurs de la famille, c’est dire qu’il appartient au uploads/s3/ cours-algebre-lineaire-espace-vectorielle.pdf