Groupes monogènes Page 1 G. COSTANTINI GROUPES MONOGÈNES 1.1. Définition On app

Groupes monogènes Page 1 G. COSTANTINI GROUPES MONOGÈNES 1.1. Définition On appelle groupe monogène, tout groupe de la forme : G = {an, n ∈ } On dit alors que a est un générateur de G et on note G = < a > On dit qu'un groupe est cyclique s'il est monogène et fini. Exemples : Typiquement : ( ) , n +   est un groupe cyclique (d'ordre n) ( , +) est un groupe monogène (infini) 1.2. Théorème Tout groupe monogène < a > est soit infini et isomorphe à ( , +), soit fini et isomorphe à ( ) , m +   , m ∈  *. Démonstration : On considère l'application : ϕa : →< a > n  a n • Im(ϕa) = < a > donc ϕa est surjectif. • ϕa(n + n') = a n+n' = a n × a n' = ϕa(n) × ϕa(n') donc ϕa est un morphisme de groupes. On sait que le noyau d'un morphisme de groupe est un sous-groupe, donc : Ker(ϕa) = {n ∈ | a n = 1} est un sous-groupe de Par conséquent, il existe m ∈  tel que : Ker(ϕa) = m Deux cas se présentent alors : m = 0 : et alors Ker(ϕa) = {0}, ϕa est injective et donc bijective. Donc < a > est infini et isomorphe à ( , +). m ∈  * : dans ce cas, ϕa n'est pas injective. Mais : ϕa(n) = ϕa(n')  a n = a n'  a n − n' = 1  n − n' ∈ Ker(ϕa)  n − n' ∈ m  n = n' [m] ϕa(n) ne dépend donc que de la classe n de n modulo m. Définissons alors : a ϕ : Ker( ) a ϕ  =   m → < a > n  a n Ainsi, ce nouveau morphisme a ϕ est injectif (puisque a ϕ ( n ) = a ϕ ( n′ )  n = n′ ) et surjectif. Donc < a > est isomorphe à   m . On dit que l'on a factorisé le morphisme ϕa : ϕa < a >  a ϕ p   m n n a n Groupes monogènes Page 2 G. COSTANTINI L'entier m ∈ * vérifie donc a m = 1 et c'est le plus petit. (En effet : a k = 1  k ∈ Ker(ϕa)  k ∈ m  ) Cet entier m s'appelle l'ordre de l'élément a. 1.3. Théorème Soit G un groupe monogène : G = < a > 1) Si G est infini, alors ses seuls générateurs sont a et a−1. 2) Si G est fini d'ordre n, alors ses générateurs sont d'ordre n et sont les ak où (k, n) = 1. Démonstration : 1) Puisque a est générateur, a−1 l'est également : ∀g ∈ G, ∃n ∈  , g = an = (a−1)−n Soit b un générateur de G. Comme a est générateur : ∃u ∈  , b = au Comme b est générateur : ∃v ∈  , a = bv On a donc : b = buv b1 − uv = 1 Or, b n'est pas d'ordre fini. (S'il l'était, il ne pourrait pas être générateur) Donc : 1 − uv = 0 uv = 1 Et comme u et v sont des entiers : u = 1 ou u = − 1 D'où: b = a ou b = a−1 2) Soit b un générateur de G. Montrons que b est d'ordre n. D'après le théorème de Lagrange, on sait que l'ordre de b divise n. S'il le divisait strictement, b ne pourrait pas engendrer G, donc b est d'ordre n. Soit maintenant un entier k tel que b = ak soit générateur. Comme b est générateur : ∃u ∈  , a = bu On a donc : b = bku b1 − ku = 1 Or, l'ordre de b est égal à n (car b est générateur), donc : ∃v ∈  , 1 − ku = vn D'après le théorème de Bézout, on déduit : (k, n) = 1 Réciproquement, supposons (k, n) = 1 et montrons que b = ak est générateur : D'après le théorème de Bézout : ∃(u, v) ∈  2, uk + vn = 1 Comme a est d'ordre n, on a alors : (ak)u = auk = a1 − vn = a × (an)−v = a Ce qui prouve que a est une puissance de ak, donc G = < ak >. uploads/s3/ groupes-monogenes.pdf

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Administrationgroupe alors générateur d'ordre théorème
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