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Licence 2e ann´ ee - 1 e semestre 2018-2019 51DE04PH - mention PHYSIQUE M´ ETHO

Licence 2e ann´ ee - 1 e semestre 2018-2019 51DE04PH - mention PHYSIQUE M´ ETHODOLOGIE Cours - Travaux dirig´ es CTD 1 : Op´ erateur gradient - Notations et rappels des syst` emes de coordonn´ ees CTD 2 : Op´ erateur divergence - Notion de ﬂux et lois de conservation - Th´ eor` eme de Gauss-Ostrogradsky - Op´ erateur laplacien scalaire CTD 3 : Op´ erateur rotationnel et th´ eor` eme de Stokes - Relations entre op´ erateurs et usage des coordonn´ ees non cart´ esiennes CTD 4 : Nombres complexes CTD 5 : Equations diﬀ´ erentielles non lin´ eaires et usage de la notation complexe Université Paris Diderot Année 2018-2019 L2 - Méthodologie 3 (51DE04PH) - MD3 Cours-TD 1 Opérateur gradient et rappel de systèmes de coordonnées Les indications (*), (**) et (***) ne sont pas des indications de diﬃculté mais indiquent, respectivement, les exercices et les questions qui seront corrigés, ceux dont une correction sommaire sera donnée et ceux qui ne seront pas corrigés. Tous les exercices ou leurs variations simples sont susceptibles d’être posés lors des évaluations. 1 Notations Tout au long des travaux dirigés de méthodologie 3, nous utiliserons les notations suivantes : — Les vecteurs sont notés avec une ﬂèche : ⃗ v ou − − − − → vecteur. — Les opérateurs vectoriels sont notés − − → grad, div, − → rot. — On utilisera également la notation avec l’opérateur « nabla » déﬁni par (en coordonnées cartésiennes) : − → ∇=   ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z   — L’opérateur laplacien ∆sera systématiquement noté à l’aide de − → ∇, soit ∆= ∇2 = − → ∇· − → ∇, aﬁn d’éviter la confusion avec la notation des variations d’une grandeur. — Les intégrales multiples sont notées avec autant de signes “intégral” que de dimensions : Z L ZZ S ZZZ V — Les intégrales sur des contours et surfaces fermées sont notées : I L Z ⊂ ⊃ Z S 2 Systèmes de coordonnées (rappels) En trois dimensions, nous utilisons essentiellement trois systèmes de coordonnées pour repérer un point M dans l’espace, à partir d’une origine O : — cartésien (x, y, z) (ﬁgure 1) : − − → OM = ⃗ r = x⃗ ex + y ⃗ ey + z ⃗ ez, où (⃗ ex, ⃗ ez, ⃗ ez) est une base orthonormée. — cylindrique (ρ, ϕ, z) (ﬁgure 2) : x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ; − − → OM = ⃗ r = ρ⃗ eρ + z ⃗ ez, avec (⃗ eρ, ⃗ eϕ, ⃗ ez) une base orthonormée. 1 Figure 1 – Schéma des coordon- nées cartésiennes. Figure 2 – Schéma des coordon- nées cylindriques. Figure 3 – Schéma des coordon- nées sphériques. — sphériques (r, θ, ϕ) (ﬁgure 3) : x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ − − → OM = ⃗ r = r⃗ er, avec (⃗ er, ⃗ eθ, ⃗ eϕ) une base orthonormée. Exercice 1 : Éléments de volume et de surface 1. (*) En regardant les ﬁgures 1-3, rappeler les expressions des éléments de volume inﬁnitésimal en coor- données cartésiennes, cylindriques et sphériques. 2. (**) Écrire l’élément de surface d’une sphère de rayon R centrée à l’origine en coordonnées sphériques. Exercice 2 : Coordonnées cylindriques (*) 1. En quoi les coordonnées cylindriques diﬀèrent-elles des coordonnées polaires ? 2. Quelle est l’expression du vecteur déplacement élémentaire d− − → OM ? 3. Quelle est l’expression du vecteur vitesse − → v (t) en coordonnées cylindriques en fonction de ρ, ϕ, z et de leur dérivées temporelles ˙ ρ, ˙ ϕ, ˙ z dans la base des vecteurs (⃗ eρ,⃗ eϕ,⃗ ez) ? Quel est le module de ce vecteur ? Exercice 3 : Coordonnées sphériques 1. (*) Rappeler l’expression de − − → OM = − → r dans la base sphérique en fonction de (⃗ er,⃗ eθ,⃗ eϕ) et (r, θ et ϕ). Quels sont les domaines de variation des angles θ et ϕ déﬁnis sur la ﬁgure 3 ? 2. (**) Quelle est l’expression du vecteur déplacement élémentaire d− − → OM ? En déduire l’expression du vecteur vitesse − → v (t). Quel est son module ? 3. (***) Rappeler l’expression des vecteurs (⃗ er,⃗ eθ,⃗ eϕ) des coordonnées sphériques en fonction des vecteurs unitaires de la base cartésienne et des angles θ et ϕ. 2 3 Notion de champ Un champ est une propriété locale de l’espace, qui permet d’associer à chaque point une valeur d’une certaine grandeur. Celle-ci peut être une grandeur scalaire, vectorielle, etc. Ici on va considérer deux types de champs : les champs scalaires et les champs vectoriels. Un champ scalaire est une fonction qui associe à chaque position dans l’espace une grandeur scalaire. Par exemple, la température, la pression sont des champs scalaires. Un champ vectoriel est une fonction qui associe à chaque position dans l’espace une grandeur vectorielle. Par exemple le champ électromagnétique ou le champ de gravitation sont des champs vectoriels. Ou encore le champ de vitesse dans un ﬂuide. Une ligne de champ L est une ligne en tout point de laquelle les vecteurs du champ sont tangents. Tracer les lignes de champ permet de visualiser le champ vectoriel ; on en représente généralement plusieurs, orientées selon le sens du champ, aﬁn d’avoir une idée du champ en question (voir ﬁgure 4). Figure 4 – Lignes de champ de vitesse (lignes de cou- rant) matérialisées en souﬄerie. Figure 5 – Représentation des lignes du champ électrostatique pour deux charges de même signe, à gauche, de signes opposés à droite. Un champ vectoriel est une fonction qui associe à chaque position dans l’espace une grandeur vectorielle. Par exemple le champ électromagnétique ou le champ de gravitation sont des champs vectoriels. Ou encore le champ de vitesses dans un ﬂuide. Une ligne de champ est une ligne en tout point de laquelle des vecteurs du champ (vectoriel) sont tan- gents. Tracer les lignes de champ permet de visualiser le champ vectoriel ; on en représente généralement plusieurs, orientées selon le sens du champ, aﬁn d’avoir une idée du champ en question (voir ﬁgures 4 et 5). Cela permet d’établir l’équation mathématique des lignes de champ. Considérant le vecteur déplacement élémentaire − ! dl le long d’une ligne de champ et le champ vectoriel − ! E , les lignes de champ sont données par : − ! dl ^ − ! E = − ! 0 Une ligne de champ n’a qu’un seul sens, celui de ses vecteurs tangents. Deux lignes de champ ne peuvent pas se couper, elles sont distinctes. 4 Gradient 4.1 Introduction topographique Cette section est fortement inspirée du texte de Jean-Pierre Bourdier disponible ici : http://f6fqx. chez-alice.fr/maths_de_9_a_99_ans/038_divergence_rotationnel_vermicelles_fourmis/divergence_ et_rotationnel.htm. Considérons un volcan du Massif Central, le Puy de Côme (ﬁgure 6). Ce volcan est représenté (projeté) sur un espace à deux dimensions (une feuille de papier) par une carte topographique, comme celle de la ﬁgure 7, réalisée par l’IGN. L’espace est ici à deux dimensions, la surface de la Terre, chaque point étant représenté par sa latitude 2 et sa longitude 3, auquel on peut associer un scalaire qui est l’altitude. On a donc un champ scalaire qui 2. La latitude est équivalente à ✓−90◦en coordonnées sphériques ; elle est représentée en abscisse sur les cartes topogra- Figure 4 – Lignes de champ de vitesse (lignes de cou- rant) matérialisées en souﬄerie. Figure 5 – Représentation des lignes du champ électrostatique pour deux charges de même signe, à gauche, de signes opposés à droite. Un champ vectoriel est une fonction qui associe à chaque position dans l’espace une grandeur vectorielle. Par exemple le champ électromagnétique ou le champ de gravitation sont des champs vectoriels. Ou encore le champ de vitesses dans un ﬂuide. Une ligne de champ est une ligne en tout point de laquelle des vecteurs du champ (vectoriel) sont tan- gents. Tracer les lignes de champ permet de visualiser le champ vectoriel ; on en représente généralement plusieurs, orientées selon le sens du champ, aﬁn d’avoir une idée du champ en question (voir ﬁgures 4 et 5). Cela permet d’établir l’équation mathématique des lignes de champ. Considérant le vecteur déplacement élémentaire − ! dl le long d’une ligne de champ et le champ vectoriel − ! E , les lignes de champ sont données par : − ! dl ^ − ! E = − ! 0 Une ligne de champ n’a qu’un seul sens, celui de ses vecteurs tangents. Deux lignes de champ ne peuvent pas se couper, elles sont distinctes. 4 Gradient 4.1 Introduction topographique Cette section est fortement inspirée du texte de Jean-Pierre Bourdier disponible ici : http://f6fqx. chez-alice.fr/maths_de_9_a_99_ans/038_divergence_rotationnel_vermicelles_fourmis/divergence_ et_rotationnel.htm. Considérons un volcan du Massif Central, le Puy de Côme (ﬁgure 6). Ce volcan est représenté (projeté) sur un espace à deux dimensions (une feuille de papier) par une carte topographique, comme celle de la ﬁgure 7, uploads/s3/ poly-ctd-md3-2018-2019.pdf