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1 Chapitre 1 Introduction 1.1Limitations des méthodes linéaires Commençons par

1 Chapitre 1 Introduction 1.1Limitations des méthodes linéaires Commençons par rappeler la définition d’un système linéaire. Au sens des mathématiques, un système est linéaire si on peut y appliquer le principe de superposition. D’un point de vue physique, la définition, plus restrictive, est la suivante. Définition 1.1.1 Un système est linéaire s’il est décrit par des équations différentielles linéaires d’ordre fini à coefficients constants. Lorsque cette définition s’applique, on peut associer au système, à l’aide de la transformée de Laplace, une transmittance H(p) qui est une fraction rationnelle en p = jω. En automatique, on complète fréquemment la définition de linéarité avec la transmittance associée au retard pur, c’est-à-dire un terme de la forme exp(-τp), où τ est une constante de temps. Les méthodes d’étude des systèmes linéaires sont très puissantes en raison des outils disponibles (algèbre linéaire, équations différentielles et systèmes différentiels linéaires, etc.). Malgré tout, se cantonner aux systèmes linéaires présente plusieurs limitations : – Aucun système physique n’est complètement linéaire. Les méthodes linéaires ne sont donc appliquables que dans un domaine de fonctionnement restreint. – Certains sytèmes sont impossibles à modéliser, même localement, à des systèmes linéaires. Un exemple simple est le relais, que ce soit sous sa forme électro-magnétique ancienne ou sous sa forme électronique (transistor en commutation, thyristor, etc.). – Certains phénomènes ne peuvent pas être décrits par des modèles et méthodes linéaires. Par exemple, 1. la précision limitée due au seuil alors que la théorie classique prévoit une précision parfaite si le système comporte un intégrateur pur, 2. le phénomène de pompage caractérisé par des oscillations périodiques, alors que la théorie linéaire ne prévoit que des états stables ou instables. 2 1.2 Systèmes non linéaires Par définition, un système non linéaire est un système qui n’est pas linéaire, c’est- à-dire (au sens physique) qui ne peut pas être décrit par des équations différentielles linéaires à coefficients constants. Cette définition, ou plutôt cette non-définition explique la complexité et la diversité des systèmes non linéaires et des méthodes qui s’y appliquent. Il n’y a pas une théorie générale pour ces systèmes, mais plusieurs méthodes adaptées à certaines classes de systèmes non linéaires. On se limitera dans ce cours à l’étude des systèmes asservis non linéaires, c’est-à-dire d’asservissements qui contiendront un éléments non linéaires. Ces éléments devront en outre appartenir à des types bien définis de non-linéarités. 1.3 Non-linéarités dans les systèmes asservis La caractéristique entrée/sortie d’un système présente fréquemment des distortions dues aux non-linéarités du systèmes. Par exemple, un amplificateur présente une saturation, un pont de redressement présente des seuils en raison des seuils des diodes qui le composent (Fig. 1.1). Ces cinq non-linéarités de base peuvent se combiner pour former des nonlinéarités plus complexes, comme le montre la Fig. 1.2. Ces cinq non-linéarités et leurs combinaisons permettent de représenter à peu près tous les types de non-linéarités rencontrés dans les systèmes asservis. Remarquons cependant que ces caractéristiques sont statiques : elles ne modélisent pas les phénomènes dynamiques comme des temps de commutation (relais ou transistor) ou des différences de comportement selon les fréquences. 3 On peut classer les non-linéairités en plusieurs catégories selon leurs propriétés : – des non-linéarités continues (courbures) ou discontinues (relais), – des non-linéarités avec ou sans mémoire (toutes celles avec hystérésis), – des non-linéarités accidentelles, c’est-à-dire dues aux imperfections des composants (saturation d’un amplificateur, jeu), ou essentielles, c’est- à-dire liées à la nature même du composant (relais). 1.4 Systèmes asservis possédant un seul élément non linéaire Dans de nombreux cas, un seul élément non linéaire, et l’on peut généralement le séparer (hypothèse de séparabilité) des autres éléments linéaires du système. On peut montrer que l’étude de tels systèmes à un élément non linéaire séparable peut toujours se ramener à l’étude d’un système non linéaire canonique, constitué dans la chaîne directe d’un élément non linéaire isolé (bloc avec la double bordure) suivi d’un système linéaire noté L(p) (qui regroupe l’ensemble des termes linéaires), et d’un retour unitaire (Fig. 1.3). 4 1.5 Exemples de réduction 1.5.1Exemple Ainsi, il est facile de montrer que le système de la figure 1.4 se réduit à la forme de la figure 1.5. Pour cela, on procède par déplacement des blocs linéaires en prenant garde de conserver le gain devant l’élément non linéaire. Par exemple, lorsque l’on déplace le bloc H(p), on le met à la fois avant le sommateur et dans la boucle de retour. De cette façon, l’élément non linéaire devient le premier bloc de la chaîne directe et, en entrée de ce bloc, le signal provenant de l’entrée e comme de la boucle de retour n’est pas modifié. Remarque Attention aux transformations interdites : on ne doit pas intervertir un bloc linéaire avec un bloc non linéaire, car la réponse de l’élément non linéaire dépend de l’amplitude. Ainsi, le schéma de la figure 1.4 ne peut pas être transformé dans le schéma de la figure 1.6. 5 1.5.2 Exercice Réduire à la forme canonique le système asservi de la figure 1.7. 6 1.6 Méthodes d’études des systèmes asservis non linéaires Dans ce cours, nous proposons deux méthodes d’étude des systèmes asservis non linéaires. La méthode du premier harmonique est une généralisation de la méthode harmonique classique utilisée pour les systèmes linéaires. Le principe consiste à réaliser une linéarisation dans le domaine fréquentiel afin de généraliser la notion de fonction de transfert au cas NL. C’est une méthode approchée qui s’applique pour des systèmes à une non-linéarité séparable et qui suppose que la partie linéaire du système asservi se comporte comme un filtre passe bas. La méthode du plan de phase est un cas particulier (dimension 2) de la méthode très générale de l’espace de phase. Cette méthode est rigoureuse et permet d’étudier des sytèmes non linéaires quelconques. En revanche, il est souvent difficile de trouver les solutions de façon analytique. L’intérêt actuel de cette méthode est lié à la puissance des calculateurs, qui permettent d’intégrer numériquement les équations et de calculer soit numériquement soit graphiquement les solutions. 1.7 Notations Dans ce document, la variable p est utilisée comme variable de Laplace. Autrement dit, p = jω où j est le nombre imaginaire pur, tel que j2 = -1, et ω représente une pulsation. Le module et l’argument d’un nombre complexe z seront notés |z| et z⌋ respectivement. Les parties réelle et imaginaire seront notées ℜ(z) et ℑ(z), respectivement. On utilisera souvent les abbréviations suivantes : – NL pour non linéaire, – SA pour systèmes asservis. 1.8 Plan du cours Outre cette introduction, ce cours est constitué de 2 parties. La première est consacrée à la méthode du premier harmonique, la seconde à la méthode du plan de phase. 7 Chapitre 2 Méthode du premier harmonique 2.1 Principe L’idée consiste à généraliser la méthode de l’analyse harmonique utilisée pour l’étude de systèmes linéaires. Pour un système linéaire, à une excitation sinusoïdale de pulsation ω : x(t) = x1sin(ωt) est associée une réponse sinusoïdale de même pulsation ω : s(t) = s1 sin(ωt + φ). En notation complexe, on peut écrire x(t) = x0 exp(jωt) et s(t) = s1 exp[j(ωt+φ)]. En notant p = jω, la fonction de tranfert H(p) du système linéaire est alors égale au rapport complexe : que l’on peut caractériser par le module : et la phase : Pour un système NL, à une excitation sinusoïdale de pulsation ω : x(t) =x1 sin(ωt) est associée une réponse périodique de période T = 2π/ω, mais non sinusoïdale. La réponse s(t) étant périodique, on peut la développer en séries de Fourier. En supposant que la moyenne s0 de s(t) est nulle, on a : s(t) = s1 sin(ωt+ φ1)+ s2 sin(2ωt+ φ2)+ . . .+ sk sin(kωt+ φk)+ . . . (2.4) L’approximation du premier harmonique consiste à conserver uniquement le premier terme en ω : 8 les autres termes, en 2ω, 3ω, etc. étant supposés filtrés par le reste du système. Par analogie au cas linéaire, on peut introduire une fonction de transfert généralisée ou équivalente, notée N(x1, ω), qui dépend en particulier de l’amplitude du signal d’entrée x1. Le gain complexe équivalent s’écrit alors : et il est caractérisé par son module : et sa phase : Cette approche présente deux différences essentielles par rapport à la fonction de transfert utilisée pour les systèmes linéaires : – il s’agit d’une approximation dont il faudra vérifier le bien-fondé, – le gain complexe équivalent dépend de la pulsation et aussi de l’amplitude x1 de l’excitation. 2.2 Condition de validité Il faut vérifier deux conditions pour pouvoir appliquer la méthode du premier harmonique à un système asservi non linéaire : 1. Condition de séparabilité : le SA possède un seul bloc NL qu’il est possible d’isoler. Les autres éléments sont supposés linéaires, au moins approximativement. 2. Condition de filtrage : la partie linéaire du SA, notée globalement L(p), est un filtre passe-bas qui filtre les termes en 2ω 3ω, etc. ce qui rend acceptable l’approximation au premier harmonique (2.5) dans le calcul du développement en séries de Fourier. Cette dernière condition est qualitative, mais de sa uploads/s3/ cours-snl-khebli.pdf