Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Limites de suites T aleS I - R´ evisions Exercice 1 Soit (un) une suite d´ eﬁni

Limites de suites T aleS I - R´ evisions Exercice 1 Soit (un) une suite d´ eﬁnie pour tout n ∈I N par un = n2 + n −1. 1. Exprimer en fonction de n : a) un−1 b) un+1 c) un+1 −un 2. La suite (un) est-elle arithm´ etique ? 3. Quel est le sens de variation de (un) ? Exercice 2 Dans chaque cas pr´ eciser si la suite (un) est arithm´ etique, g´ eom´ etrique, ou ni l’un ni l’autre. Exprimer alors, lorsque cela est possible, un en fonction de n. a. Pour tout n ∈I N, un = n2. b. u0 = 2 et pour tout entier naturel n, un+1 = un −5. c. Pour tout n ∈I N, un = 2n2 + 5n + 3 n + 1 . d. Pour tout n ∈I N∗, un = 32n+1 2n . e. u0 = 3 et pour tout entier naturel n, un+1 = −2 3un + 4. Exercice 3 Soit (un) la suite d´ eﬁnie pour tout entier naturel n non nul par un = n + 1 n2 + 1. 1. D´ eterminer la fonction f telle que un = f(n). 2. Etudier le sens de variation de f et en d´ eduire celui de (un). 3. Calculer u10, u100, u10 000, u108 et u1016. Que peut-on dire des valeurs de un lorsque n devient de plus en plus grand ? Exercice 4 Mˆ eme exercice avec les suites (un) d´ eﬁnies pour tout entier naturel n par 1) un = n2 −1 n2 + 1. 2) un = 3n2 + 4n −5. 3) un = −n3 + 6n2 −9n + 5. Exercice 5 Soit la suite (un) d´ eﬁnie par u0 = 1 et pour tout entier n, un+1 = 1 un + 1. D´ eterminer la fonction f telle que un+1 = f(un), puis tracer Cf et placer u0, u1, u2, u3 et u4 sur l’axe des abscisses. Exercice 6 (un) est la suite d´ eﬁnie par u0 = 3 et, pour tout entier n, un+1 = 3un 3 + 2un . Pour tout entier n, on pose vn = 3 un . 1. D´ emontrer que (vn) est une suite arithm´ etique. 2. En d´ eduire une expression de vn, puis de un en fonction n. Exercice 7 (un) est la suite d´ eﬁnie par u0 = 1 et, pour tout entier n, un+1 = 2 3un −1 6. Pour tout entier n, on pose vn = 2un + 1. 1. D´ emontrer que (vn) est une suite g´ eom´ etrique. 2. En d´ eduire une expression de vn, puis de un en fonction n. Y. Morel - xymaths.free.fr/Lycee/TS/ Limites de suites - T aleS - 1/8 II - Principe de r´ ecurrence Exemple : On consid` ere la suite (un) d´ eﬁnie pour par u0 = 2, puis pour tout entier n, un+1 = √un + 5. Montrer que, pour tout entier n, un ⩾0. Il y a ici une inﬁnit´ e de relation alg´ ebrique, il s’agit de montrer la relation un ⩾0 pour tout n ⩾0, c’est-` a-dire pour n = 0, n = 1, n = 2, . . ., n = 10, n = 112, . . . Pour d´ emontrer cette inﬁnit´ e de relation, on peut d´ ej` a commencer par le v´ eriﬁer au d´ ebut, pour les premiers termes : – pour n = 0, u0 = 2, et donc la propri´ et´ e est bien vraie, u0 ⩾0. – pour n = 1, u1 = √u0 + 5 = √2 + 5 = √ 7 ⩾0, et la propri´ et´ e est toute aussi vraie – pour n = 2, u2 = √u1 + 5 ⩾0, car u1 ⩾−5 – . . . Pour traiter le probl` eme d’une mani` ere plus g´ en´ erale, on peut remarquer que, tant que que le terme un ⩾−5, alors le terme suivant un+1 est bien d´ eﬁni, et ´ etant une racine carr´ ee, il est positif ou nul. Or, ´ etant positif ou nul, il est aussi sup´ erieur ` a −5, donc son successeur est bien d´ eﬁni, et donc positif, donc son successeur . . . Cette propri´ et´ e est une propri´ et´ e d’h´ er´ edit´ e : Si on suppose qu’` a un rang n, on a un ⩾0, alors, au rang suivant, on a un+1 = √un + 5 ⩾ √0 + 5 = √ 5 ⩾0. En d’autres termes, si la propri´ et´ e est vraie ` a un rang n, elle est aussi vraie au rang n + 1 suivant. Or, nous avons vu que cette propri´ et´ e est vraie initialement au rang n = 0 (car u0 = 2 ⩾0), et donc, d’apr` es cette h´ er´ edit´ e, elle est aussi vraie au rang n + 1 = 1, puis aussi au suivant, n + 1 = 2, puis au suivant, puis . . ., puis . . . On a ainsi d´ emontr´ e que la relation un ⩾0 est vraie ` a tous les rangs n. Ce raisonnement s’appelle un raisonnement par r´ ecurrence. Principe du raisonnement par r´ ecurrence Soit P(n) une proposition qui d´ epend d’un entier naturel n. Pour d´ emontrer que P(n) est vraie pour tout entier n ≥n0, il suﬃt de : 1. Initialisation : v´ eriﬁer que pour le premier entier n0, P(n0) est vraie ; 2. H´ er´ edit´ e de la propri´ et´ e : montrer que, si on suppose que P(n) est vraie pour un certain entier n (hypoth` ese de r´ ecurrence), alors P(n + 1) est encore vraie. 3. Conclusion : On conclut alors que, d’apr` es le principe de r´ ecurrence, la propri´ et´ e P(n) est vraie pour tout entier n ⩾n0. Exercice 8 Soit la suite (un) d´ eﬁnie par u0 = 2 et, pour tout entier n, un+1 = √un + 5. Montrer que, pour tout entier n, 0 ≤un ≤3. Exercice 9 Montrer que, pour tout n ≥10, 2n ≥100n. Exercice 10 Soit la suite v d´ eﬁnie par v0 = 2, puis pour tout entier n, vn+1 = 1 + 1 vn . Montrer que pour tout entier naturel n, 3 2 ≤vn ≤2. Exercice 11 Somme des premiers entiers, de leurs carr´ es, de leurs cubes. a) Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, 1 + 2 + 3 + · · · + n = n(n + 1) 2 . Y. Morel - xymaths.free.fr/Lycee/TS/ Limites de suites - T aleS - 2/8 b) Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, 12 + 22 + 32 + · · · + n2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 . c) Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, 13 + 23 + 33 + · · · + n3 = n2(n + 1)2 4 . Exercice 12 Soit n un entier naturel non nul, et Sn la somme Sn = n X p=1 1 p(p + 1). 1. Ecrire un algorithme permettant de calculer Sn o` u n est un entier naturel choisi par l’utilisateur. 2. Montrer par r´ ecurrence que pour tout entier n ≥1, Sn = n n + 1 3. a) Veriﬁer que 1 p(p + 1) = 1 p − 1 p + 1 b) Retrouver alors le r´ esultat du 1. par une autre m´ ethode. Exercice 13 Soit a un r´ eel strictement positif. D´ emontrer par r´ ecurrence que pour tout entier naturel n, (1 + a)n ≥1 + na. Exercice 14 Soit u la suite d´ eﬁnie par u0 = 3, et pour tout entier n par un+1 = 2(un −1). Calculer les premiers termes de cette suite, et conjecturer une expression de un. D´ emontrer alors cette conjecture. Exercice 15 Soit la suite u d´ eﬁnie par u0 = 5 et, pour tout entier n, un+1 = √3un + 1. D´ emontrer que cette suite est monotone. III - Limite d’une suite 1) D´ eﬁnition et exemples D´ eﬁnition La suite num´ erique (un) converge vers le r´ eel l si et seulement si tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes un ` a partir d’un certain rang. On note : lim n→+∞un = l ou encore lim un = l. Remarque : Cette condition : ”tout intervalle ouvert” est tr` es forte car elle permet, entre autre, que l’intervalle puisse ˆ etre arbitrairement petit. Exemple : Soit la suite (un) d´ eﬁnie pour n ⩾1 par un = 1 n + 1. n un × 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 l = 1 Intervalle ouvert contenant l Soit par exemple l’intervalle ouvert I =]0, 99 ; 1, 01[ contenant l = 1. Alors, un ∈I ⇐ ⇒0, 99 < un < 1, 01 ⇐ ⇒0, 99 < 1 n+1 < 1, 01 ⇐ ⇒−0, 01 < uploads/s3/ cours-suites.pdf