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Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales A 125 − 1 Calcul tensoriel par Gilles CHÂTELET Ancien Élève de l’École Normale Supérieure de St-Cloud Docteur ès Sciences Mathématiques Professeur à l’Université de Paris VIII n mécanique classique, et spécialement en mécanique newtonienne, les effets physiques résultent des forces agissant sur les corps solides. Comme objet mathématique, la force est un vecteur. Il existe une déﬁnition intrinsèque purement opératoire des vecteurs comme éléments d’un espace vectoriel E sur un corps K (article Calcul matriciel [AF 86] dans le présent traité). Nous verrons (§ 1.1) qu’il existe une autre déﬁnition des vecteurs, plus satisfaisante pour le physicien, et d’ailleurs plus fructueuse d’inspiration pour le mathéma- ticien. Certains domaines de la physique, en particulier la mécanique des milieux continus (article [A 303] Déformation et contraintes dans un milieu continu et autres articles de la rubrique Calcul des structures dans le présent traité), privilégient d’autres concepts mathématiques : en particulier le concept de tenseur. Il existe deux déﬁnitions équivalentes des tenseurs en dimension ﬁnie (dans la suite de cet article, nous nous limiterons au calcul tensoriel sur les espaces de dimension ﬁnie) : — le calcul tensoriel intrinsèque, qui est l’introduction d’une multiplication formelle sur un espace vectoriel ; — le calcul tensoriel des physiciens : un tenseur est un tableau de nombres attaché à une base particulière de l’espace vectoriel E et se transforme suivant une loi donnée par changement de base. 1. Dualité. Covariance et contravariance dans un espace vectoriel A 125 - 2 1.1 Les vecteurs des physiciens. Contravariance............................................ — 2 1.2 Espace dual. Covariance ............................................................................. — 2 1.3 Dualité dans les espaces pseudo-euclidiens. Composantes covariantes et contravariantes d’un vecteur.................................................................. — 3 2. Tenseurs en dimension ﬁnie ................................................................. — 4 2.1 Tenseurs comme formes multilinéaires .................................................... — 4 2.2 Opérations sur les espaces de tenseurs .................................................... — 5 2.3 Dimension de l’espace des tenseurs mixtes ............................................. — 5 2.4 Tenseurs euclidiens ..................................................................................... — 6 3. Tenseurs antisymétriques. Formes extérieures............................... — 7 3.1 Déﬁnition...................................................................................................... — 7 3.2 L’espace . Dimension et produit extérieur ......................................... — 7 3.3 L’espace . Déterminants ...................................................................... — 8 3.4 Comportement des composantes strictes par changement de base...... — 9 3.5 Dualité dans le produit extérieur................................................................ — 9 4. Application du calcul tensoriel à la relativité restreinte.............. — 11 4.1 Introduction et rappels................................................................................ — 11 4.2 Géométrie de la relativité............................................................................ — 12 4.3 Dynamique de la relativité.......................................................................... — 13 4.4 Électromagnétisme en relativité................................................................. — 14 Références bibliographiques ......................................................................... — 15 E ∧ p E ∧ n E CALCUL TENSORIEL ____________________________________________________________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. A 125 − 2 © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales Le présent article comprend quatre paragraphes : — un premier paragraphe précise, pour les vecteurs et les formes, les notions de covariance et de contravariance ; — un deuxième paragraphe, inspiré par l’exemple précédent, donne les défi- nitions des tenseurs et établit leur équivalence ; — un troisième paragraphe étudie spécifiquement le produit extérieur et la définition des déterminants ; — le paragraphe 4 donne une application des tenseurs à la relativité restreinte et à l’électromagnétisme. 1. Dualité. Covariance et contravariance dans un espace vectoriel On considère un espace vectoriel E de dimension n sur un corps K. Le plus généralement, K désigne le corps des réels, le corps des rationnels ou le corps des complexes. 1.1 Les vecteurs des physiciens. Contravariance Soient deux bases de E. Rappelons les relations donnant les composantes d’un vecteur x de E sur la base (fj ) en fonction de celles associées à la base (ei) (article Calcul matri- ciel [AF 86] dans le présent traité). On part de . Si , on sait que : (1) Si au contraire les coefﬁcients sont déﬁnis par , nous pouvons écrire : (2) Avec l’écriture du calcul matriciel, fournit une matrice carrée inversible. La formule (1) s’écrit x = A y ; sont liés par : avec (symbole de Kronecker ). On peut donc écrire : (3) Supposons maintenant que l’on décide d’appeler vecteur un système de n nombres ( ) attachés à chaque base (e ) d’un espace E, système qui se transforme suivant la loi (2). Autrement dit, en notation matricielle, si est la matrice de changement de base (e ) → (f ), x(e ) et x(f ) sont liés par : Nous pouvons associer à ces systèmes de nombres les vecteurs déﬁnis par : (4) Montrons que . Utilisant (1), (2) et (4), nous pouvons écrire : Et, remarquant (3) : Ainsi, le vecteur associé aux composantes par la formule (4) ne dépend pas du choix de la base (e ) pourvu que la loi de transformation (2) soit respectée. Cette loi de transformation caractérise un certain type d’objet associé aux bases de E : les objets contravariants, dont les tenseurs d’un certain type seront les représentants les plus généraux comme nous allons le voir (§ 2). Nous pouvons envisager d’autres lois de transformation associées aux changements de base. C’est le cas des formes linéaires sur E que nous déﬁnissons maintenant. 1.2 Espace dual. Covariance Une forme linéaire ω sur E est une application linéaire de E dans le corps K. L’ensemble des formes linéaires sur E est l’espace dual de E, noté E*. L’espace E* est un espace vectoriel (également sur le corps K ) comme le montre la déﬁnition des opérations suivantes : x ∈ E, (ω + ω’)(x ) = ω(x ) + ω’(x ) λ ∈ K, (λω)(x) = λ[ω(x )] Par convention, l’indice du haut est celui des lignes, l’indice du bas celui des colonnes. ei ( )1 i n et fj ( )1 j n x x i ei 1 i n ∑ y j fj 1 j n ∑ = = fj aj i ei 1 i n ∑ = x i aj i y j j ∑ = ; 1 j n , 1 i n bi k ei bi k fk 1 k n ∑ = y j bk j xk k ∑ = aj i ( ) A = bi k ( ) et aj i ( ) aj i bi k 1 i n ∑ δk j = δ k j 0 = si j k ≠ et 1 si j k = bi k ( ) A 1 – = x e ( ) i A e ( ) f ( ) x e ( ) A e ( ) f ( ) x f ( ) = x e ( ) i ( ) et x f ( ) i ( ) x e ( ) et x f ( ) x e ( ) x e ( ) i e i 1 i n ∑ = x f ( ) x f ( ) j e j 1 j n ∑ =        x e ( ) x f ( ) = x e ( ) x e ( ) i e i i ∑ a j i y j b i k f k i , j , k ∑ = = x e ( ) δ k j y k f k j , k ∑ y j f j ∑ x f ( ) = = = x e ( ) x e ( ) i ____________________________________________________________________________________________________________________ CALCUL TENSORIEL Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales A 125 − 3 On peut alors prouver facilement (article [A 101] Analyse fonction- nelle dans le présent traité) la proposition suivante. I Proposition 1 : E * étant un espace de dimension n égale à celle de E , si est une base de E , il existe une base ( e i ) de E *, canoniquement associée, appelée base duale des ( e i ) et déﬁnie par : (5) Les composantes d’une forme ω sur e i sont alors : ω i = ω ( e i ) (6) D’une manière analogue au paragraphe précédent, on peut s’inté- resser aux lois de transformation des coordonnées ( ω i ) par change- ment de base. Si ( f k ) est une autre base de E , la base duale, notée ( f k ), s’exprime en fonction des ( e i ) par la formule : (7) Conformément à la convention utilisée pour les matrices de changement de base, dans la matrice , i est l’indice des lignes et k celui des colonnes. Appliquant (6) à la décomposition (7) de la forme f k , on obtient : (8) Sachant que , il vient alors, en utilisant (5) : Rappelons que . A t est la uploads/s3/ calcul-tensoriel-gilles-chatelet.pdf