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chapitre 1 : le second degr´ e 22 octobre 2016 Correction contrôle de mathémati

chapitre 1 : le second degr´ e 22 octobre 2016 Correction contrôle de mathématiques Du mercredi 19 octobre 2016 Exercice 1 Forme canonique et représentation (3 points) 1) f(x) = 3x2 + 12x + 5 = 3 x2 + 4x + 5 3 ! = 3 " (x + 2)2 −4 + 5 3 # = 3 " (x + 2)2 −7 3 # 2) On peut aussi f sous la forme : f(x) = 3(x + 2)2 −7. Le sommet S de la parabole C f a pour coordonnées : S(−2 ; −7) 3) Comme a = 3 la parabole C f est tournée vers le haut. On obtient le tableau de varia- tion suivant : x f(x) −∞ −2 +∞ +∞ +∞ −7 −7 +∞ +∞ Exercice 2 Équations (4 points) 1) 2x2 + 3x −2 = 0. On a ∆= 9 + 16 = 25 = 52. ∆> 0 deux racines : x1 = −3 + 5 4 = 1 2 et x2 = −3 −5 4 = −2 soit S = ( −2 ; 1 2 ) On a alors : 2x2 + 3x −2 = 2 x −1 2 ! (x + 2) = (2x −1)(x + 2) 2) x2 + 3x −5 = x −4 ⇔ x2 + 2x −1. On a ∆= 4 + 4 = 8 = (2 √ 2)2, ∆> 0 deux racines : x1 = −2 + 2 √ 2 2 = −1 + √ 2 et x2 = −2 −2 √ 2 2 = −1 − √ 2 S = n −1 − √ 2 ; −1 + √ 2 o 3) 4 x −1 − 3 x −2 = −1, On a : D f = R −{1 ; 2}. x ∈D f, on multiplie par (x −1)(x −2) : 4(x −2) −3(x −1) + (x −1)(x −2) = 0 4x −8 −3x + 3 + x2 −2x −x + 2 = 0 x2 −2x −3 = 0 x1 = −1 ∈D f, racine évidente, P = −3, d’où x2 = P x1 = 3 ∈D f S = {−1 ; 3} Paul Milan 1 premi` ere s correction du contrˆ ole de math´ ematiques 4) On pose X = x2, avec X > 0. L’équation devient : X2 −12X + 27 = 0, on a ∆= 144 −108 = 36 = 62 > 0, deux racines : X1 = 12 + 6 2 = 9 > 0 retenue et X2 = 12 −6 2 = 3 > 0 retenue On revient à x : x2 = 9 ⇔ x = 3 ou x = −3 et x2 = 3 ⇔ x = √ 3 ou x = − √ 3 S = n −3 ; − √ 3 ; √ 3 ; 3 o Exercice 3 Inéquation (4 points) 1) 2(x + 1)2 + 5x > 7 ⇔2x2 + 4x + 2 + 5x −7 > 0 ⇔2x2 + 9x −5 > 0 ∆= 81 + 40 = 121 = 112 > 0, 2 racines x1 = −9 + 11 4 = 1 2 et x2 = −9 −11 4 = −5 x 2x2 + 9x −5 −∞ −5 1 2 +∞ + 0 − 0 + S =] −∞; −5[ ∪ i1 2 ; +∞ h 2) Racines de −3x2 + 4x + 4 : ∆= 16 + 48 = 64 = 82 > 0, deux racines x1 = −4 + 8 −6 = −2 3 et x2 = −4 −8 −6 = 2 Racines de 5x2 + x −6 : x1 = 1 racine évidente, P = −6 5 donc x2 = −6 5 D f = R − ( −6 5 ; 1 ) x −3x2 + 4x + 4 5x2 + x −6 −3x2 + 4x + 4 5x2 + x −6 −∞ −6 5 −2 3 1 2 +∞ − − 0 + + 0 − + 0 − − 0 + + − + 0 − + 0 − S = i −6 5 ; −2 3 i ∪]1 ; 2] 3) 2x + 1 x −2 ⩽x + 1 x + 3 ⇔ (2x + 1)(x + 3) −(x −2)(x + 1) (x −2)(x + 3) ⩽0 ⇔ 2x2 + 6x + x + 3 −x2 + 2x −x + 2 (x −2)(x + 3) ⩽0 ⇔ 2x2 + 8x + 5 (x −2)(x + 3) ⩽0, D f = R −{−3 ; 2} Racines du numérateur : ∆= 64 −20 = 44 = (2 √ 11)2 > 0, deux racines : x1 = −8 + 2 √ 11 2 = −4 + √ 11 et x2 = −8 −2 √ 11 2 = −4 − √ 11 paul milan 2 premi` ere s correction du contrˆ ole de math´ ematiques x x2 + 8x + 5 (x −2)(x + 3) x2 + 8x + 5 (x −2)(x + 3) −∞ −4 − √ 11 −3 −4 + √ 11 2 +∞ + 0 − − 0 + + + + 0 − − 0 + + 0 − + 0 − + S = [−4 − √ 11 ; −3[ ∪[−4 + √ 11 ; 2[ Exercice 4 Équation paramétrique (3 points) 1) Si m = 0, l’équation (E) est du 1er degré donc admet une unique solution. −3x + 2 = 0 ⇔ x = 2 3 2) L’équation (E) possède deux solutions distinctes ssi ∆> 0 et m , 0. ∆> 0 ⇔(2m + 3)2 −4m(m + 2) > 0 ⇔4m2 + 12m + 9 −4m2 −8m > 0 ⇔ 4m + 9 > 0 ⇔m > −9 4. ∆> 0 et m , 0 ⇔m ∈ i −9 4 ; 0 h ∪]0 ; +∞[ 3) ∀x ∈R, mx2 −(2m + 3)x + m + 2 > 0 ⇔∆< 0 et m > 0. ∆< 0 ⇔ m < −9 4, donc les conditions ∆< 0 et m > 0, sont incompatibles. Il n’existe donc pas de valeurs de m pour lesquelles l’inéquation soit toujours vériﬁée. Exercice 5 Système d’équations (2 points) x et y sont solution de l’équation : X2 −29X + 198 = 0. ∆= 292 −4 × 198 = 49 = 72 > 0, deux racines : X1 = 29 + 7 2 = 18 et X2 = 29 −7 2 = 11 S = {(18 ; 11) ; (11 ; 18)} Exercice 6 Carrés (2 points) La somme des aires des deux carrés vaut les 3/4 du carré ABCD, se traduit par : x2 + (5 −x)2 = 3 4 × 52 ⇔4x2 + 4(5 −x)2 = 75 ⇔4x2 + 100 −40x + 4x2 = 75 ⇔ 8x2 −40x + 25 = 0, ∆= 1 600 −800 = 800 = (20 √ 2)2 > 0, deux racines (symétriques) x1 = 40 + 20 √ 2 16 = 10 + 5 √ 2 4 ≈4, 27 et x1 = 40 −20 √ 2 16 = 10 −5 √ 2 4 ≈0, 73 paul milan 3 premi` ere s correction du contrˆ ole de math´ ematiques Exercice 7 Équation de troisième degré (2 points) 1) 13 + 5 × 12 −12 × 1 + 6 = 1 + 5 −12 + 6 = 0. x = 1, est donc solution de (E). 2) On développe : (x −1)(x2 + 6x −6) = x3 + 6x2 −6x −x2 −6x + 6 = x3 + 5x2 −12x + 6 3) Racine de x2 + 6x −6. On a ∆= 36 + 24 = 60 = (2 √ 15)2 > 0, deux racines : x1 = −6 + 2 √ 15 2 = −3 + √ 15 et x2 = −6 −2 √ 15 2 = −3 − √ 15 L’ensemble solution de (E) : S = n −3 − √ 15 ; −3 + √ 15 ; 1 o paul milan 4 premi` ere s uploads/s3/ ctrle-19-10-2016-correction.pdf