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Ecole Nationale des Sciences Appliqu´ ees de F` es G.Inf.1 & G.S.E.I.I.1: S5 De

Ecole Nationale des Sciences Appliqu´ ees de F` es G.Inf.1 & G.S.E.I.I.1: S5 Devoir 1 Nous supposons que f : [a, b] − →R est une fonction n + 1 fois continˆ ument diﬀ´ erentiable. La formule de Newton qui consiste ` a ´ ecrire le polynˆ ome Pn aux points x0, ..., xn sous la forme Pn(x) = a0 + a1(x −x0) + ... + an(x −x0)...(x −xn−1), permet de construire le polynˆ ome Pn ` a l’aide d’une r´ ecurrence. En eﬀet, Pn(x) = Pn−1(x) + an n−1 Y k=0 (x −xk). Autrement dit, connaissant Pn−1, il suﬃt de calculer an pour connaˆ ıtre Pn. 1. Montrer par r´ ecurrence sur le nombre de points que le polynˆ ome d’interpolation de Newton de la fonction f aux points distincts (xi)1≤i≤n est donn´ e par Pn(x) = n X i=0 f[x0, ..., xi] i−1 Y k=0 (x −xk), o` u f[.] d´ esigne les diﬀ´ erences divis´ ees de f d´ eﬁnies pour tout i = 0, ...n par f[xi] = f(xi), f[x0, ..., xi] = 1 xi −x0 (f[x1, ..., xi] −f[x0, ..., xi−1]), Indication: Consid´ erez le polynˆ ome suivant et remarquez qu’il passe aussi pas les points (xi)1≤i≤n Q(x) = x −x0 xn −x0 n X i=1 f[x1, ..., xi] i−1 Y k=1 (x −xk) + xn −x xn −x0 Pn−1(x). 2. Montrer ensuite que f[x0, ..., xn] est invariant par permutations. 3. Montrer qu’il existe ξ ∈[a, b] tel que f[x0, ..., xn] = an = f (n)(ξ) n! . 4. Montrer que |Pn(x) −f(x)| ≤∥f (n+1)∥∞ (n + 1)! n−1 Y k=0 (x −xk). Indication: d´ eduire le r´ esultat en consid´ erant le polynˆ ome d’interpolation passant par les points x0, ...., xn et x avec x ∈[a, b]. 5. Application: Trouver l’interpolation de Lagrange de la fonction f(x) = sin(πx/2) aux points x0 = 0, x1 = 1 et x2 = 2. Puis ` a l’aide des questions pr´ ec´ edentes ´ etablir une estimation d’erreur. S. ELHAJ-BEN-ALI 1 2020-2021 uploads/s3/ devoir-2021 2 .pdf