EL BAKKALI EL KADI TAHA Groupes Groupes August 28, 2019 1 G´ en´ eralit´ es Loi

EL BAKKALI EL KADI TAHA Groupes Groupes August 28, 2019 1 G´ en´ eralit´ es Loi de composition interne : Soit E un ensemble non vide. Une loi de composition interne (Lci) est toute application de ExE vers E (∗) : ExE − →E (x, y) 7− →x ∗y Magma : Un ensemble E muni d’une Lci (∗) est appel´ e magma et not´ e (E, ∗) Sous-magma : Soit (E, ∗) un magma et A une partie non vide de E qui est stable par ∗. ■(A, ∗) est dit sous-magma de (E, ∗) Mono¨ ıde : Un mono¨ ıde est un magma (E, ∗) v´ erifiant : ■∗: associative ; ∀(x, y, z) ∈E3 : (x ∗y) ∗z = x ∗(y ∗z) ■E admet un ´ el´ ement neutre ’e’ pour ∗; (∀x ∈E) : x ∗e = e ∗x = e 2 Groupe Groupe : Un groupe est un mono¨ ıde (E, ∗) o` u tout ´ el´ ement de E admet un sym´ etrique pour ∗. 1 – (Z, +) est un groupe ”le + usuel” – (N, +) n’est pas un groupe ; (N, +) est un mono¨ ıde, or les ´ el´ ements de N ne sont pas tous sym´ etrisables. Exercice : Soit (E, ∗) un magma tq : −∗est associative −il existe dans E un ´ el´ ement neutre ` a gauche −tout ´ el´ ement de E poss` ede un sym´ etrique ` a gauche dans E Montrer que (E, ∗) est un groupe. Sous-groupe : Soit (E, ∗) un groupe et S une partie de E. S est un sous-groupe de E si : ■S est stable par la loi ∗; pour d´ efinir la loi induite. ■S est un groupe pour la loi induite sur S par la loi ∗. Caract´ erisation : Soit S une partie de E,S est un sous-groupe de (E, ∗) si : ■e ∈S. ■∀(x, y) ∈S2 : x ∗y ∈S. ■∀x ∈S : x−1 ∈S. ou ■S ̸= ∅. ■∀(x, y) ∈S2 : x ∗y−1 ∈S. Exercice : Montrer q’une intersection de sous-groupes d’un groupe E est un sous-groupe de E. Exercice : Soit n ∈Z. Montrer que les sous-groupes de (Z, +) sont de la forme nZ. Centre d’un groupe : 2 Soit (E, ∗) un groupe. On appelle centre de E,not´ e Z(E), l’ensemble des ´ el´ ements de E qui commutent avec tous les autres. Z(E) = {x ∈E ; ∀y ∈E, xy = yx} Exercice : Soit (E, ∗) un groupe. Montrer que (Z(E), ∗) est un groupe. Ordre d’un groupe : Soit G un groupe fini. L’ordre de G est son cardinal. Exercice : (th´ eor` eme de lagrange) Soit E un goupe fini et S un sous-groupe de E. Montrer que l’ordre de S divise l’ordre de E. Sous-groupe normal : On dit qu’un sous-groupe S d’un groupe E est normal (ou distingu´ e ou in- variant) dans E s’il est stable par conjugaison: ∀s ∈S, ∀x ∈E, xsx−1 ∈S. On note S ⊴E. −{e} et E sont normaux dans E. −Tout sous-groupe de E contenu dans Z(E) est normal dans E ; en partic- ulier Z(E). −Si E est ab´ elien alors tous ses sous-groupes sont normaux. Exercice : Soit S un sous-groupe normal de E. Montrer que ∀x ∈E : xS = Sx. 3 Morphisme de groupes Morphisme (Homomorphisme) : Soient (E, ∗) et (F, ⋆) deux groupes. 3 On appelle morphisme de (E, ∗) dans (F, ⋆) une application ψ : E − →F tq : ∀(x, y) ∈E2 : ψ(x ∗y) = ψ(x) ⋆ψ(y) −Un morphisme d’un ensemble vers lui-mˆ eme muni de la mˆ eme Lci est appel´ e endomorphisme. −Un morphisme bijectif est appel´ e isomorphisme. −un endomorphisme bijectif est appel´ e automorphisme. Exercice (E1, ∗) et (E2, ⋆) sont 2 groupes d’´ el´ ements neutres respectifs e1 et e2, et ψ un morphisme de E1 dans E2. Montrer que −ψ(e1) = e2 −∀x ∈E1 : ψ(x−1) = ψ(x)−1 Exercice Soit ψ : E1 − →E2 un morphisme de groupes, S1 et S2, deux sous-groupes de E1,E2. Montrer que −ψ(S1) est un sous-groupe de E2, normal si S1 est normal dans E1 et si ψ est surjective. −ψ−1(S2) est un sous-groupe de E1, normal si S2 est normal dans E2 et si ψ est surjective. 4 Groupes monog` enes et cycliques Sous-groupe engendr´ e : Soient E un groupe et A un sous-ensemble non-vide de E. L’intersection de tous les sous-groupes de E qui contiennent A est un sous- groupe de E, appel´ e le sous-groupe de E engendr´ e par A, not´ e < A >, et qui est le plus petit (au sens de l’inclusion) sous-groupe de E contenant A. −Le sous-groupe engendr´ e par la partie vide est {e}. −Le sous-groupe engendr´ e par une partie ` a un ´ element {a} est  ak : k ∈Z . (On le note aZ ou Za si G est un groupe additif) 4 −Le sous-groupe engendr´ e par un ensemble fini {a1, .., an} d’´ el´ ements com- mutants 2` a2 est :  a1k1, .., ankn; (k1, .., kn) ∈Zn . On le note a1Z + .. + anZ ou Za1 + .. + Zan Exercice Montrer que < A >=  x1..xn ; n ∈N et ∀i ∈J1 ; nK : xi ∈A ou xi−1 ∈A Groupe monog` ene Un groupe E est dit monog` ene s’il existe a ∈E tq E =< a > Si de plus E est fini, on dit que E est cyclique. Groupe de type fini Un groupe E est dit de type fini s’il existe un nombre fini d’´ el´ ements a1, ..., an de E tels que E =< a1, .., an >. Un tel n-uplet (a1, .., an) est appel´ e syst` eme de g´ en´ erateurs de E. Ordre d’un ´ el´ ement Soit E un groupe et x un ´ el´ ement de E. On dit que x est d’ordre fini dans E lorsqu’il existe des entiers k ≥1tel que xk = e. Dans ce cas, on appelle ordre de x le plus petit d’entre eux. Exercice Soit E un groupe et x un ´ el´ ement de E. Montrer que si x est d’ordre fini n ≥1 dans E, alors le sous-groupe < x > est fini d’ordre n, et l’on a : < x >=  e, x, x2, .., xn−1 5 uploads/s3/ elbakkali-groupes.pdf

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Administrationgroupe sous-groupe exercice montrer normal
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