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Ecoles Privées Elmaarif & Erraja Classes 7 C Devoir de Mathématiques Durée 3H 1

Ecoles Privées Elmaarif & Erraja Classes 7 C Devoir de Mathématiques Durée 3H 18/11/2018 ﻣﺪارس اﻟﺮﺟﺎء واﻟﻤﻌﺎرف اﻟﺤﺮة ECOLES PRIVEES ELMAARIF- ERRAJA Devoir de Maths Classes :7C Durée : 3H 18/11/2018 La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation de la copie. Exercice 1 (3 points) Soit i 2019 z e π = . On pose 2 4 2018 S 1 z z ... z = + + + + . 1) Vérifier que 2020 z z = −. En déduire que 1 S 1 z = − . 2) Ecrire S sous forme algébrique. 3) En déduire que : 2 4 2018 1 cos cos ... cos 2019 2019 2019 2 π π π − + + + = . Exercice 2 (4 points) Soit la matrice 2 2 1 A 3 5 3 5 10 6 − −     = −     −   1) Déterminer la matrice M telle que 3 A M I = − . 2) Vérifier que 2 M est la matrice nulle. En déduire 2 A . 3) Déduire 1 A− 4) Résoudre le système -2x - 2y + z = -7 3x + 5y - 3z = 14 5x +10y - 6z = 26      Exercice 3 (4 points) Dans l’ensemble des nombres complexes, on considère l'équation : α E 2 z - 2izcosα - 1 = 0 où α est un paramètre réel, [ ] 0,2 α∈ π . 1.a) Résoudre l'équation particulière Eπ . b) Donner les solutions de l'équation α E sous formes algébrique et exponentielle. 2.a) Résoudre l'équation n i z e θ = où θ est un paramètre réel. . b) En déduire l’écriture exponentielle des solutions de l'équation : − α − = 2n n z 2iz cos 1 0 où ∗ ∈IN n donné. Ecoles Privées Elmaarif & Erraja Classes 7 C Devoir de Mathématiques Durée 3H 18/11/2018 Exercice 4 (7 points) On considère le polynôme P, défini sur ℂ, par : 3 2 P(z) z (5 5i)z (2 22i)z 8 24i = − + + + + − 1.a) Calculer P(2) . b) Déterminer les nombres complexes a et b tels que pour tout z de ℂ: 2 P(z) (z 2)(z az b) = − + + c) Résoudre l'équation P(z) 0 = . 2) Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct ) v , u (O, . Soient les points A , B et C images des solutions de l’équation P(z) 0 = avec A B C Im(z ) Im(z ) Im(z ) < < . a) Placer les points A ,B ,C et G et montrer que les points O,A,B,C sont cocycliques. b) Calculer l’affixe du point G barycentre du système{ } (A;2),(B;-3),(C;5) c) Donner l’expression complexe de la similitude directe s de centre A qui transforme B en C. d) Calculer l’affixe du point D image de C par la similitude directe s. 3) On pose z 3 i Z z 4i − − = − . Déterminer et construire l'ensemble des points M d'affixe z dans les cas suivants : a) [ ] arg Z 2 π = π b) Z 1 = c) Z 2 = d) [ ] 2arg Z 2(AC;AB) 2 = π . Présentation : 2 points Fin. uploads/s3/ devoir-7-c18112018.pdf