Université Paris Diderot - Paris 7 2018-2019 Méthodologie et outils mathématiqu

Université Paris Diderot - Paris 7 2018-2019 Méthodologie et outils mathématiques pour la physique Interrogation nale - 10 décembre 2018 Durée de l'interrogation : 3h. Pas de calculatrice, ni de documents. Un barème in- dicatif (basé sur 30 points) est donné pour vous permettre de visualiser l'importance relative de chaque exercice par rapport aux autres. Ce barème n'impose pas de faire tous les exercices pour obtenir la note maximale : nous vous conseillons donc de commencer par les exercices pour lesquels vous vous sentez le plus à l'aise. Il est également crucial de véri er vos résultats a n d'éviter les erreurs qui se propagent d'une question à une autre. Exercice 1 - Mise en équation (≈2 points) a) En magasin, une cartouche d'encre coûte 17,9 euros alors que sur internet, les mêmes cartouches sont à 16,5 euros l'unité. L'envoi de la commande internet coûte 4,9 euros. Combien de cartouches d'encre faut-il acheter au minimum pour que l'achat sur internet soit moins cher que celui en magasin ? b) Quel est le nombre auquel je pense si lorsque je lui ajoute 1 et que je multiplie le résultat par 6, j'obtiens le même le nombre que si j'ajoute 7 au double du nombre de départ ? Exercice 2 - Le rectangle d'or (≈4 points) Par dé nition, un rectangle d'or est un rectangle dont les dimensions véri ent : Longueur Largueur = Demi-périmètre Longueur En notant l et L, la largeur et la longueur d'un tel rectangle d'or, on dé nit le rapport sans dimension r = L l , avec r > 1. 1. Montrer que r est solution de l'équation (E) : r2 −r −1 = 0. On appelle r le nombre d'or. 2. Montrer que (E) est équivalente à l'équation r −1 2 2 −5 4 = 0. En déduire, en justi ant votre réponse, la valeur exacte du nombre d'or r (on rappellera que r > 1). 3. En utilisant le fait que r2 = 1 + r, Démontrer que r3 = 1 + 2r 4. En procédant de façon similaire, exprimer également r4 et r5 en les mettant sous la forme nr + m, avec n et m des entiers à déterminer dans chaque cas. 1 Exercice 3 - Trigonométrie (≈4 points) 1. Donner la formule trigonométrique permettant de calculer sin(a−b). Véri er explicitement cette formule en prenant a = 60◦et b = 30◦. 2. Donner la relation mathématique dé nissant la fonction arccosinus, en in- diquant clairement les ensembles de dé nition associés aux diérentes gran- deurs introduites. 3. Trouver les solutions de l'équation cos(α) = 1/2. Les représenter sur le cercle trigonométrique en indiquant clairement les angles. Laquelle de ces solutions vaut arccos(1/2) ? 4. Pourquoi peut-on prédire, sans faire d'application numérique, que sin(15◦) prend une valeur proche de 0.25 (on pourra faire l'approximation π ≈3) ? Exercice 4 - Equations trigonométriques (≈2 points) a) Déterminer la valeur de l'angle x véri ant : π 2 ≤x ≤π et sin(x) = 1 2. b) Déterminer la valeur de l'angle α véri ant cos2(α)−sin2(α) = 1 2, avec 0 ≤α ≤ π 2 Exercice 5 - Vecteurs et projections (≈4 points) L'objet O est en équilibre statique sur le plan incliné, comme montré dans la gure ci dessous. θ y x y’ x’ R F P (A) (B) (C) O Cela signi e que la somme vectorielle des trois forces qui agissent sur O, le poids ⃗ P, le frottement statique ⃗ F parallèle au plan incliné, et la réaction normale du plan ⃗ R, est nulle : ⃗ P + ⃗ F + ⃗ R = ⃗ 0 (1) Nous souhaitons déterminer les modules F = ||⃗ F|| et R = ||⃗ R|| en fonction de P = ||⃗ P|| et de l'angle θ. 1. Pour cela, utilisons d'abord le référentiel x-y de la gure (B). 2 (a) Projeter les trois forces sur la base orthonormée ( ⃗ i,⃗ j) de ce référentiel et déterminer ainsi les composantes de chacune. (b) Utiliser la relation d'équilibre (1) pour déterminer F et R en fonction de P et θ (c) Écrire la décomposition des trois forces sur la base ( ⃗ i,⃗ j) en fonction de P et θ. (d) Véri er que ⃗ F · ⃗ R = 0 2. Utilisons maintenant le référentiel x′-y′ de la gure (C). (a) En utilisant la même procédure que dans le cas précédent, écrire la décomposition des trois forces sur la base orthonormée (⃗ i′, ⃗ j′) de ce référentiel, toujours en fonction de P et θ. (b) Les vecteurs de la base (⃗ i′, ⃗ j′) peuvent être écrits en fonction des vec- teurs de la base ( ⃗ i,⃗ j) sous la forme suivante : ⃗ i′ = cos θ⃗ i −sin θ⃗ j ⃗ j′ = sin θ⃗ i + cos θ⃗ j Utiliser ces relations pour montrer que les expressions des forces dé- terminées dans les deux bases sont équivalentes, et véri er ainsi vos résultats. Exercice 6 - Vecteurs et géométrie (≈2 points) On considère le plan muni de la base cartésienne orthonormale ( ⃗ i,⃗ j) et d'origine O. On donne le point A de coordonnées xA = 1 et yA = 0, et le point B de coordonnées xB = a et yB = b (avec a > 0 et b > 0). 1. Donner les composantes des vecteurs − → OA et − → AB. 2. Calculer leurs normes. A quelle condition sur a le point B est-il sur la mé- diatrice du segment OA ? 3. On se placera dans ce cas. On impose maintenant que le triangle OAB soit équilatéral. En déduire la valeur de b. Montrer, en utilisant le produit scalaire, que l'angle d AOB vaut bien 60o. Exercice 7 - Dérivées et diérentielles (≈1,5 points) La Terre est supposée être une sphère parfaite de rayon R. Une celle de longueur L en fait le tour exactement au niveau de l'équateur. On allonge la celle d'une longueur dL. En supposant qu'elle s'écarte du sol partout de la même hauteur dR, exprimer cette hauteur en fonction de dL. Calculer numériquement dR dans le cas où l'on allonge la celle de 3 mètres, ce qui représente une variation très petite par rapport au périmètre de la Terre (on prendra pour simpli er π ≈3). 3 Exercice 8 - Dérivées partielles et diérentielles (≈2,5 points) Un altimètre donne l'altitude z en fonction de la pression P et la température T locales selon la loi : z(T, p) = αT(ln P0 −ln P). La pression P0 au niveau du sol (z = 0) peut être considérée comme une constante. α est une constante positive. 1. Calculer les dérivées partielles ∂z/∂T et ∂z/∂P. 2. Exprimer la diérentielle totale dz de z(T, p), en fonction de la petite varia- tion de température dT et de la petite variation de pression dP. 3. Si vous êtes dans une montgol ère et que vous constatez que la pression augmente sans changement de température, êtes-vous en train de monter ou de descendre ? Justi er votre réponse à la lumière du calcul précédent. Exercice 9 - Euréka (≈4 points) blabla h a a‐h c e Un enfant s'amuse dans sa baignoire avec un cube en plastique de côté a. Le cube a pour masse volumique ρc = ρe 2 , avec ρe la masse volumique de l'eau, et on suppose que le cube otte en gardant sa face supérieure horizontale, comme sur le dessin ci-dessus. On note h(t) la hauteur de cube émergée, c'est à dire la distance entre la face supérieure et la surface de l'eau, susceptible d'évoluer avec le temps. Les deux forces appliquées au système sont la force de pesanteur et la poussée d'Archimède. Dans un modèle simple négligeant toute dissipation d'énergie, le principe fondamental de la dynamique nous indique : ρca3d2h dt2 = ρea2(a −h)g −ρca3g, avec g l'accélération de la pesanteur. 1. Montrer que cette équation diérentielle peut être mise sous la forme stan- dard d2h dt2 + ω2(h −heq) = 0. Que valent les constantes heq et ω ? Véri er explicitement l'homogénéité dimensionnelle de ces deux expressions. 2. Donner, sans démonstration, mais en justi ant votre réponse, la solution générale de cette équation diérentielle (sous sa forme réelle). 3. On suppose tout d'abord que l'enfant enfonce le cube jusqu'au ras de l'eau, i.e. jusqu'à atteindre h = 0, puis qu'il le lâche à l'instant t = 0 sans vitesse initiale. Déterminer la solution particulière qui décrit le mouvement du cube dans un tel cas. 4 4. On suppose maintenant que l'enfant avait plongé le cube au fond la baignoire, et que le cube a pris de la vitesse en remontant à la surface. On note v0 la vitesse du cube au moment où celui-ci atteint la hauteur h = heq, à un instant considéré comme l'origine des temps (t = 0). Déterminer la solution particulière qui décrit le mouvement du cube dans un tel cas. Exercice 10 - uploads/s3/ md1-2018-2019-interro-finale-v1.pdf

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