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Pr. Touﬁk Chaayra Probabilité et Processus 2020–2021 Master: MFIGR Stochastique

Pr. Touﬁk Chaayra Probabilité et Processus 2020–2021 Master: MFIGR Stochastique FSJES-AS Casablanca Devoir maison −à rendre au plus tard le Lundi 28/06/2021 Veillez à faire une rédaction soignée de vos réponses. Celle-ci sera prise en compte. Exercice 1 : On tire deux variables U et V de façon indépendante et uniformément dans l’ensemble {1, 2, 3, 4, 5}. On en déduit les variables aléatoires X = min(U, V ) et Y = max(U, V ). 1. Déterminer la loi jointe du couple (U, Y ). 2. Déterminer E[U | Y = n], pour n ∈{1, 2, 3, 4, 5}. 3. En déduire E[U | Y ]. 4. Déterminer E[Y | U]. 5. Déterminer de même E[U | X] et E[X | U]. Exercice 2 : À raison d’un véhicule toutes les dix secondes en moyenne, le ﬂux des véhicules dans une voie donnée comporte une proportion de p = 10% de camions et de 90% de voitures (particulières). 1. Quelle est la probabilité qu’au moins un camion passe dans un intervalle d’une minute ? 2. Sachant que dix camions sont passés dans un intervalle de cinq minutes, quel est le nombre moyen de véhicules qui sont passés dans cet intervalle ? 3. Trente véhicules sont passés durant dix minutes, quelle est la probabilité que trois parmi eux sont des camions ? Exercice 3 : On considère un processus de Poisson {N(t) : t ≥0} de densité λ > 0. Étudier les processus suivants déduits du processus {N(t) : t ≥0} par les opérations suivantes. 1. On supprime les tops de rang impair. Noter {N1(t) : t ≥0} le processus obtenu. 2. Pour tout i = 1, 2, . . . on décale l’instant Si d’apparition du iième top d’une quantité constante a. Noter {N2(t) : t ≥0} le processus obtenu. 3. Pour tout i = 1, 2, . . . on décale l’instant Si d’apparition du iième top d’une quantité aléatoire Y positive dont la densité de probabilité g(x) est indépendante de i. [Soient N3(t) le processus résultant et G(t) la fonction de répartition de Y . On 1 démontre d’abord que, conditionnellement à l’évènement {N(t) = n}, la variable aléatoire N3(t) est binomiale de paramètre (n, p(t)) avec p(t) = 1 t Z t 0 G(t −x)dx puis on calcule P {N3(t) = k} .] Exercice 4 : On considère une chaîne de Markov (Xn)n≥0 sur {1, . . . , 7} de matrice de transition Q donnée par Q =              1/2 1/4 0 1/4 0 0 0 1/2 0 0 0 0 0 1/2 0 0 1/8 0 7/8 0 0 1/4 0 0 0 0 0 3/4 0 1/9 7/9 0 0 1/9 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0              1. Dessiner le graphe de la chaine de Markov associée en précisant les probabilités de transitions entre les diﬀérents états. 2. Déterminer les classes d’états récurrents et transitoires. 3. La chaîne est-elle irréductible ? 4. Calculer P3 (X2 = 6) et P1 (X2 = 7). Exercice 5 : Un lapin se déplace dans un terrier composé de trois galeries, notées A, B et C, dans chacune desquelles il est confronté à un stimulus particulier. À chaque fois qu’il est soumis à un stimulus, le lapin reste dans la galerie où il se trouve ou change de galerie. Cela constitue une étape. S’il est dans la galerie A ou C, il y reste avec la probabilité 1/3 ou il passe dans la galerie B avec la probabilité 2/3 S’il est dans la galerie B, il y reste avec la probabilité 1/2 sinon il passe dans la galerie A ou la galerie C avec la probabilité 1/4. 1. Représenter le graphe de probabilité associé à cette situation. On notera A, B et C les trois états correspondant aux trois galeries. 2. Écrire la matrice de transition associée. 3. Écrire en justiﬁant le raisonnement la relation liant Rn = an bn cn , M et Rn+1 4. Déterminer la distribution stationnaire. On donnera les trois valeurs sans parenthèses, sous la forme u/v en les séparant par une virgule. 5. On déﬁnit la suite (un) par : n ∈N, un = an −cn 2 (a) Montrer que la suite (un) est géométrique de raison : (b) En déduire que pour tout n ∈N, un = 1 3n Bonne chance 3 uploads/s3/ devoir-a-rendre.pdf