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Exercice 1 : (4 points) I. Pour chacune des questions suivantes, une seule des

Exercice 1 : (4 points) I. Pour chacune des questions suivantes, une seule des trois réponses proposées est exacte. 1) Soit, dans , l’équation     2 E : z 2 1 i z 13 2 3 i 0      . On note 1 z et 2 z les solutions de   E .Une mesure de   1 2 arg z z  est a) 4  b) 3 4  c) 5 4  2) Le module du nombre complexe 2 i 3 1 e   est égal à a) 1 b) 2 c) 2 II. Répondre par vrai ou faux. Aucune justification n’est demandée. On considère trois suites   n u ,  n v et   n w ayant, pour tout entier naturel n , les propriétés suivantes : n n n u v w   , n n lim u 1   et n n lim w 1   . 1) n n lim v 0   . 2) La suite   n v est bornée. 3) Pour tout entier n , on a : n 1 v 1    . 4) On ne sait pas dire si la suite   n v a une limite ou non. Exercice 2 : (5 points) Soit f la fonction définie par       2 x 1 cos x f x si x 0 x f x x x 1 x si x 0                1) Calculer   x lim f x  . Interpréter géométriquement le résultat obtenu. 2) Montrer que, pour tout x 0  ,   x 2 f x 1 x    et en déduire   x lim f x  . 3) Montrer que f est continue sur . 1 Nov. 2015 Niveau : 4 Maths Lycée Ibn Khaldoun DEVOIR DE CONTROLE N°1 Durée : 2heures 4) Montrer que l’équation   f x 0  admet une solution dans 1 , 0 2       . Exercice 3 : (5 points) On considère la suite   n u définie par 0 u 0  et pour tout entier naturel n , n 1 n u 3u 4   1) a) Montrer que   n u est majorée par 4. b) Montrer que   n u est strictement croissante. c) En déduire que   n u converge et déterminer sa limite. 2) a) Montrer que pour tout entier naturel n , on a :   n 1 n 1 4 u 4 u 2     b) En déduire que pour tout entier naturel n , on a : n n 1 4 u 4 2        . c) Retrouver alors le résultat de 1) c). Exercice 4 : (6 points) 1) Résoudre, dans , l’équation :   2 2 z 3 3 i z 1 3 i 0      Dans la suite le plan est rapporté à un repère orthonormé direct   O, u, v   . 2) On considère les points A et B d’affixes respectives A 1 i 3 z 2   et B A z iz  . On désigne par I le milieu de AB    et on note I z l’affixe de I. a) Donner la forme exponentielle de A z et B z . b) Placer les points A, B et I dans le repère   O, u, v   . 3) a) Montrer que le triangle OAB est isocèle et rectangle. b) En déduire que 2 OI 2  et que   7 u, OI 2 12         . c) Ecrire C z sous la forme algébrique et en déduire la valeur exacte de 7 cos 12       . 2 Nov. 2015 uploads/s3/ devoir-control-maths-4-math.pdf