Ecole Préparatoire en Sciences et Techniques D’Oran 2eme année Devoir Surveillé

Ecole Préparatoire en Sciences et Techniques D’Oran 2eme année Devoir Surveillé, Analyse Numérique 01 13/12/2011 (La dur ee : 1h : 30) Documents ; Téléphone ; . . . non autorisés N.B : a chaque utilisation d’un théorème ou d’autre résultat du cours, rappeler soigneusement (et véri…er) les hypothèses sous lesquelles il peut s’appliquer, faute de quoi la conclusion n’a pas de valeur. Exercice 1:(6pts) (point …xe). On veut calculer le zéro r = 1 de la fonction f(x) = x3 + 7x2 + 7x 15 en utilisant l’algorithme de points …xes xn+1 = x3 n + 7x2 n + (7 + w)xn 15 w ; où w est un paramètre réel strictement négatif (w < 0). 1. Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre w le zéro de la fonction f(x) est-il un point …xe de la méthode proposée? 2. Pour quelle(s) valeur(s) de w la méthode proposée converge-t-elle? 3. Pour qu’elle valeur de w la méthode proposée converge-t-elle plus vite? Quel est l’ordre de convergence dans ce cas? Exercice 2:(7pts) (Décomposition LU) Certaines matrices symétriques mènent à une factorisation de la forme LLt, où L est une matrice triangulaire inférieure. 1. Expliquer pourquoi on s’intéresse à ce cas particulier de la factorisation LU (par rapport à la méthode de Croute). 2. Résoudre le système linéaire 8 < : 9x + 3y + 3z = 15 3x + 5y + z = 9 3x + y + 5z = 9 à l’aide d’une factorisation LLt: Exercice 3:(7pts) (Méthodes itératives) Soit le système d’équations algébriques suivant: 0 @ 1 a 0 a 1 a 0 a 1 1 A 0 @ x y z 1 A = 0 @ 1 1 1 1 A où a est un paramètre réel tel que a 6=  p 2 2 : 1. Pour a = 1=2; faire trois itérations de la méthode de Gauss-Seidel en partant de l’approximation initiale X(0) = (0; 0; 0)t. 2. Pour qu’elles valeurs de a, la convergence de la méthode de Gauss-Seidel est-elle assurée? 3. Pour a = 1=2, donner la matrice d’itérations TJ de la méthode de Jacobi. Sachant que la matrice TJ possède les valeurs propres 1 = 0; 2 = p 2=2 et 3 = p 2=2,est-ce que la méthode Gauss-Seidel converge pour ce système linéaire? ————————————————————————————————————————————— N:B : La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Kh. ZENNIR BON COURAGE 1 (EPST. 2eme année 2011/2012) Corrigés (Indice) du DS d’Analyse Numerique 01 Exercice 1. 1. On pose [2pt] g(x) = x3 + 7x2 + (7 + w)x 15 w ; il su¢t en suite de montrer que g(1) = 1. ( En utilisant la dé…nition du point …xe) 2. L’algorithme de points …xes converge (En utilisant la notion de convergence de la méthode des points …xes). [2pt] 3. La converge est rapide (ordre 2) :[2pt] (En utilisant la notion d’ordre de convergence de la méthode des points …xes) Exercice 2. 1. La décomposition de Cholesky nécessite 2 fois moins d’opérations que celle de Crout et le stockage d’une seule matrice. [2pt] 2. En Appliquant l’algorithme de la décomposition de Cholesky [3pt] A = LLt = 0 @ 3 0 0 1 2 0 1 0 2 1 A 0 @ 3 1 1 0 2 0 0 0 2 1 A 3. On résout Ly = (15; 9; 9)t pour obtenir y = (5; 5; 2)t et ensuite LtX = y pour calculer la solution X = (1; 1; 1)t. [2pt] Exercice 3. On a 8 < : x(n+1) = 1 + 1 2y(n) y(n+1) = 1 + 1 2x(n+1) + 1 2z(n) z(n+1) = 1 + 1 2y(n+1) 1. En partant de l’itération initiale X(0) = (0; 0; 0)t, on obtient avec la méthode de Gauss-Seidel l’itération suivante: X(1) = (1; 3=2; 7=4)t; X(2) = (7=4; 11=4; 19=8)t et X(3) = (19=8; 27=8; 43=16)t. [2pt](Appliquons l’algorithme de Gauss-Seidel), 2. Pour 1=2 < a < 1=2 , la convergence de la méthode de Gauss-Seidel est assurée car la matrice A est à diagonale strictement dominante. [2pt] (Notion de convergence de la méthode de Gauss-Seidel). 3. La méthode de Gauss-Seidel est une variante améliorée de la méthode de Jacobi La matrice d’itération de Jacobi est [1pt] Tj = D1(L + U) = 0 @ 0 1=2 0 1=2 0 1=2 0 1=2 0 1 A En se servant des valeurs propres de la matrice TJ, on a  (TJ) = p 2=2 < 1:[1pt] La méthode de Jacobi converge, ce qui entraine la convergence de la méthode de Gauss-Seidel car elle est plus rapide. [1pt] Khaled ZENNIR 1 uploads/s3/ epst-2an-devoir1-anal-num1.pdf

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Administrationméthode convergence gauss-seidel exercice matrice
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