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Introduction aux m´ ethodes statistiques Marc Hoﬀmann Janvier 2013 ii Table des

Introduction aux m´ ethodes statistiques Marc Hoﬀmann Janvier 2013 ii Table des mati` eres I Mod´ elisation statistique 1 1 Outils de probabilit´ es 3 1.1 Loi d’une variable al´ eatoire r´ eelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Variables discr` etes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Variables de loi absolument continue . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3 Formules d’int´ egration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Param` etres de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Esp´ erance-variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2 Coeﬃcients d’asym´ etrie et d’aplatissement . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.3 Quantiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Vecteurs gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.1 Loi normale multivari´ ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.2 D´ eriv´ ees des lois gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.3 Cochran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4 Convergences et th´ eor` emes limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4.1 Modes de convergences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4.2 Lois des grands nombres et th´ eor` eme central-limite . . . . . . . . . 23 1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 Exp´ erience statistique 27 2.1 Mod´ elisation statistique⋆. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.1 Exemples introductifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 iv TABLE DES MATI` ERES 2.1.2 D´ eﬁnition provisoire d’une exp´ erience statistique⋆ . . . . . . . . . 34 2.2 Formulation math´ ematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.1 Exp´ erience engendr´ ee par une observation . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.2 Observation canonique⋆. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.3 Domination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.4 Mod` eles param´ etriques, non-param´ etriques⋆. . . . . . . . . . . . . 38 2.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3.1 Mod` ele d’´ echantillonnage ou du n–´ echantillon . . . . . . . . . . . . 39 2.3.2 Mod` eles de r´ egression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 II M´ ethodes d’estimation 45 3 Echantillonnage et fonction de r´ epartition empirique 47 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.1.1 Situation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.1.2 Notations et d´ eﬁnitions pr´ eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.2 Estimation ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.2.1 Fonction de r´ epartition empirique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2.2 Pr´ ecision d’estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2.3 Pr´ ecision d’estimation asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.2.4 Pr´ ecision non-asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.2.5 D´ ecision⋆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.3 Estimation uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3.1 Estimation uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3.2 Vitesse d’estimation uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.3.3 Pr´ ecision uniforme non-asymptotique⋆. . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.3.4 Test d’ad´ equation ` a une distribution donn´ ee⋆. . . . . . . . . . . . 64 3.4 Estimation de fonctionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.4.1 Le cas r´ egulier : m´ ethode de substitution . . . . . . . . . . . . . . 65 3.4.2 Le cas non-r´ egulier⋆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 TABLE DES MATI` ERES v 3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4 M´ ethodes d’estimation en densit´ e 75 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.1.1 Notations et hypoth` eses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.1.2 Familles param´ etriques classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.2 M´ ethode des moments . . . . . . . . . . . uploads/s3/ rammah2-pdf.pdf