Cours d’électrocinétique EC4-Régime sinusoïdal 1 Introduction Dans les premiers

Cours d’électrocinétique EC4-Régime sinusoïdal 1 Introduction Dans les premiers chapitres d’électrocinétique, nous avons travaillé sur les régimes tran- sitoires des circuits comportant conducteur ohmique, bobine et condensateur : on leur appli- quait un échelon de tension et regardions l’évolution de la tension et/ou de l’intensité. Nous allons garder les mêmes circuits, mais cette fois-ci leur comportement sera étudié dans le cas d’un régime variable (les tension et intensité varient au cours du temps) perma- nent (ces variations sont périodiques). Après avoir défini les grandeurs électriques en régimes variables, on introduira la notation complexe qui est un outil d’aide à la résolution des équations. Il sera alors temps de parler des résonances du circuit RLC (chapitre EC5) et de filtres électriques (chapitre EC6). 2 Grandeurs électriques en régimes sinusoïdaux 2.1 Écriture mathématique et caractéristiques d’une grandeur sinusoïdale Les circuits que nous allons étudier serons soumis à une tension sinusoïdale. Graphiquement, on peut dessiner cette fonction ainsi.

  
 Figure 1 – Signal sinusoïdal Comment écrit-on mathématiquement ce type de signal ? Il a la forme suivante : x(t) = Xm cos(Êt + „) (1) Y _ ] _ [ Xm : amplitude du signal ; Ê : pulsation en rad.s≠1 ; „ : phase à l’origine des dates en rad. En effet, sur la figure 1, le signal vérifie x(t = 0) = 0 et on a nécessairement „ = fi 2 . 1
  Electrocinétique EC4-Régime sinusoïdal 2.2 Déphasage Remarque On peut de la même façon utiliser une fonction sinus plutôt qu’une fonction cosinus pour décrire un signal sinusoïdal. Si on écrit x(t) = Xm sin(Êt + „) alors pour la figure 1, „ = 0. Compléments — L’amplitude ne doit pas être confondue avec le signal crête-crête ; — Ê représente la vitesse de périodicité du signal (vitesse que met le signal à reprendre la forme qu’il avait avant). Elle est donc directement reliée à la période T exprimée en seconde et à la fréquence f exprimée en hertz (Hz) : Ê = 2fi T Ê = 2fif f = 1 T (2) — La phase permet de fixer l’origine des temps, la valeur de la grandeur sinusoïdale à t=0. 2.2 Déphasage entre deux signaux sinusoïdaux Cette notion est vue généralement en travaux pratiques et se mesure à l’aide d’un oscil- loscope. On mesure le déphasage entre deux signaux synchrones, c’est à dire de même fré- quence. Définition Le déphasage est la différence de phase à l’origine des signaux étudiés. Ce dépha- sage est déterminé au signe près et est généralement compris entre ≠fiet fi. Détermination Voyons cela sur des exemples : Figure 2 : La tension VS est en avance sur la tension VE, le déphasage ∆„ de VS sur VE est positif. Pour obtenir sa valeur à l’aide d’un oscillo- gramme, on utilise une règle de trois : Le nombre de division D correspondant à une période des signaux correspond à un dépha- sage de 2fi; alors le nombre de division d correspond à un déphasage de ∆„ : ∆„ = d ◊2fi D (3)
 
 Figure 2 – Exemple de déphasage positif 2
  Electrocinétique EC4-Régime sinusoïdal 3. Notation complexe d’un signal périodique Figure 3 : La tension VS est en retard sur la tension VE, le déphasage ∆„ de VS sur VE est négatif.
 
 Figure 3 – Exemple de déphasage négatif Figure 4 : Si la tension VS est en avance de plus d’une demie période sur la tension VE, le dépha- sage ∆„ est théoriquement supérieur à fi. On préfèrera plutôt dire que VE est en avance sur VS d’un déphasage ∆„Õ = 2fi≠∆„.
 

 Figure 4 – Déphasage supérieur à fi? 3 Notation complexe d’un signal périodique Nous verrons juste après quelques définitions l’intérêt de cette notation complexe. Rappels mathématiques — Un nombre complexe écrit dans sa forme cartésienne a pour expression : z = a + jb (4) Avec a la partie réelle et b la partie imaginaire, et j le nombre complexe vérifiant j2 = ≠1. — Le module de z noté |z| a pour expression : |z| = Ô a2 + b2. — Son argument ◊est défini par : cos ◊= a |z| et sin ◊= b |z| — Un nombre complexe écrit sous sa forme polaire a pour expression : z = r(cos ◊+ j sin ◊) = rej◊ (5) avec r = |z| = Ô a2 + b2 son module et ◊son argument. 3.1 Définitions Soit un signal sinusoïdal d’expression mathématique x(t) = Xm cos(Êt+„), on lui associe une grandeur complexe : 3
  Electrocinétique EC4-Régime sinusoïdal 3.2 Représentation de Fresnel x(t) = Xmej(Êt+„) = XmejÊtej„ (6) On pourra également définir une amplitude complexe : X = Xmej„ donc x(t) = XejÊt (7) On travaillera donc en notation complexe mais il sera facile de revenir au signal réel : — Retour au signal réel complet grâce à la partie réelle du complexe : x(t) = Re(x(t)) (8) — Retour à l’amplitude du signal réel grâce au module de l’amplitude complexe ou du signal complexe : Xm = |X| = |x(t)| (9) — Retour à la phase initiale grâce à l’argument de l’amplitude complexe : „ = Arg(X) (10) Ainsi, toutes les informations dont nous avons besoin pour reconstituer le signal réel sont contenues dans l’amplitude complexe. 3.2 Représentation de Fresnel Il s’agit d’une représentation vectorielle qui permet une visualisation géométrique de la grandeur sinusoïdale. A la grandeur x(t) = Xm cos(Êt + „), on associe dans le plan complexe un vecteur de longueur Xm et dont l’angle avec l’axe horizontal est Êt + „.
  
   Figure 5 – Représentation de Fresnel d’un signal sinusoïdal 3.3 Dérivation de signaux complexes La présence d’une exponentielle en notation complexe facilite la dérivation du signal : dx(t) dt = 1 Xmej(Êt+„)2Õ = jÊXmej(Êt+„) = jÊx(t) (11) dx(t) dt = jÊx(t) (12) La dérivée d’un signal complexe est obtenue en multipliant le signal complexe par jÊ. Pour une dérivée seconde se sera une multiplication par (jÊ)2... 4
  Electrocinétique EC4-Régime sinusoïdal 3.4 Intégration de signaux complexes En effet, vérifions qu’en prenant la partie réelle de la grandeur jÊx(t) on obtient la dérivée du signal réel x(t) : jÊx(t) = jÊXmej(Êt+„) = jÊXm cos(Êt + „) + jjÊXm sin(Êt + „) (13) = ≠ÊXm sin(Êt + „) + jÊXm cos(Êt + „) (14) Donc Re(jÊx(t)) = ≠ÊXm sin(Êt + „) (15) La dérivée de x(t) est : x(t) = Xm cos(Êt + „) ≈ ∆dx(t) dt = ≠ÊXm sin(Êt + „) (16) 3.4 Intégration de signaux complexes Sur le même principe, la primitive d’un signal complexe est obtenue en mul- tipliant celui-ci par 1 jÊ : ˆ x(t) = 1 jÊx(t) (17) 4 Intérêt de la notation complexe : étude du circuit RC en régime sinusoïdal forcé 4.1 Régime forcé On parle de régime forcé lorsque l’on impose à un circuit une tension sinusoïdale délivrée par un générateur. Après un régime transitoire, le circuit évolue de la même manière que le générateur, notam- ment à une fréquence identique à celui-ci. 4.2 Étude du dipôle RC 4.2.1 Loi des mailles On étudie le dipôle RC en régime sinusoïdal : un gé- nérateur impose aux bornes de ce dipôle la tension e(t) = E cos(Êt + „).

     Figure 6 – Dipôle RC en régime sinusoïdal forcé Appliquons la loi des mailles : u(t) + R i(t) = e(t) (18) Puis utilisons la notation complexe : u(t) + R i(t) = e(t) (19) ≈ ∆u(t) + R i(t) = Eej(Êt) (20) Or i(t) = C du(t) dt donc i(t) = C du(t) dt = jCÊu(t) (la relation entre i(t) et u(t) est linéaire). 5
  Electrocinétique EC4-Régime sinusoïdal 4.2 Étude du dipôle RC L’équation (??) devient : u(t) + jRCÊ u(t) = Eej(Êt) (21) ≈ ∆u(t) = Eej(Êt) 1 + jRCÊ (22) 4.2.2 Intérêt de la notation complexe Ainsi, nous voyons qu’à l’issue de la loi des mailles, il n’y a plus d’équation différentielle à résoudre. 4.2.3 Solution Posons : u(t) = Uej„ejÊt = Eej(Êt) 1 + j·Ê d’où U = Uej„ = E 1 + j·Ê et · = RC. Ainsi, pour obtenir la réponse en tension du circuit, u(t), il faut prendre le module et l’argument de U : — En prenant le module de U, on obtient l’amplitude de u(t) : U = |U| = |EejÊt| |1 + j·Ê| = E Ô 1 + · 2Ê2 (23) — Et pour obtenir la phase à l’origine de u(t)(ou son déphasage par rapport à e(t) puisque „e(t) = 0), on prend l’argument de U : „ = Arg(U) = Arg(E) ≠Arg(1 + j·Ê) = 0 ≠Arg(1 + j·Ê) (24) Alors : tan „ = ≠Img(1 + j·Ê) Re(1 + j·Ê) = ≠·Ê (25) Rappels mathématiques Mais attention, l’expression (??) peut convenir pour deux angles différents (la tangente définit uploads/s3/ ec4-regime-sinusoidal.pdf

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• Publié le Apv 14, 2022
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