ECS2 Lycée Louis Pergaud Couples de variables aléatoires discrètes TD7 Loi d’un

ECS2 Lycée Louis Pergaud Couples de variables aléatoires discrètes TD7 Loi d’un couple, lois marginales et conditionnelles Exercice 7.1 (⋆) On considère un couple (X, Y ) de variables aléatoires réelles à valeurs dans N pour lequel il existe un réel a tel que la loi de (X, Y ) soit définie par : ∀(i, j) ∈N2, P([X = i] ∩[Y = j]) = 1 j! a 2i+j . 1. Déterminer a. 2. Déterminer les lois marginales. 3. Les variables X et Y sont-elles indépendantes ? Exercice 7.2 (⋆⋆) On désigne par n un entier naturel non nul et on considère n urnes numérotées de 1 à n. On suppose que pour tout entier k compris entre 1 et n, l’urne numéro k contient k boules numérotées de 1 à k. On choisit au hasard une urne parmi les n et dans cette urne on tire au hasard une boule. On note X la variable aléatoire égale au numéro de l’urne choisie et N la variable aléatoire égale au numéro porté par la boule obtenue. 1. Reconnaitre la loi de X, ainsi que la loi de N sachant [X = i] pour tout i ∈X(Ω). 2. Déterminer la loi du couple (X, N). 3. En déduire la loi de N sous forme de somme. 4. Calculer l’espérance et la variance de N. Exercice 7.3 (⋆⋆⋆- QSP HEC 2014) Soient X et Y deux variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé (Ω, A , P), à valeurs dans N telles que : ∀(i, j) ∈N2, P([X = i] ∩[Y = j]) = a (i + j + 1)!. Déterminer le réel a. Les variables X et Y sont-elles indépendantes ? Le réel a doit être positif. De plus on doit calculer la série double X P(X = i, Y = j) qui doit converger et dont la somme doit valoir 1. Pour cela, étant donné la présence de i + j dans le terme général, on va procéder à une somme suivant les diagonales (comme tout est positif, inutile de mettre des valeurs absolues) : • Pour tout n ∈N, on a : X i+j=n P(X = i, Y = j) = X i+j=n a (n + 1)! = (n + 1) a (n + 1)! = a n! car, rappelons le, le cardinal de In = {(i, j) ∈N2, i + j = n} est n + 1. • La série X n≥0 a n! converge car c’est une série exponentielle, et sa somme vaut ae1. Par le théorème de sommation suivant les diagonales, la série double X P(X = i, Y = j) converge et elle vaut ae1. Ainsi on a a = e−1. 1 ECS2 Lycée Louis Pergaud Étudions à présent l’indépendance de X et Y . On a : P(X = 0) = +∞ X j=0 P(X = 0, Y = j) = +∞ X j=0 e−1 (j + 1)! = e−1( +∞ X j=1 1 j!) = e−1(e −1) = 1 −e−1. De même on a P(Y = 0) = 1 −e−1, et on a P(X = 0, Y = 0) = e−1. Ainsi on a pas P(X = 0, Y = 0) = P(X = 0)P(Y = 0). Donc les variables X et Y ne sont pas indépendantes. Fonctions de deux variables discrètes Exercice 7.4 (⋆) Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant la même loi de Poisson de paramètre λ > 0. Justifier que X 1 + Y possède une espérance et la calculer. Exercice 7.5 (⋆⋆) Soient X et Y deux variables indépendantes, définies sur le même espace probabilisé (Ω, A , P) telles que X , →P(λ) et Y , →G (p), p ∈]0, 1[. Pour tout ω ∈Ω, on définit une matrice A(ω) par : A(ω) =  X(ω) Y (ω) −1 Y (ω) −1 X(ω)  . Déterminer la probabilité que A(ω) soit inversible. A(ω) n’est pas inversible si et seulement si det(A(ω)) = 0, ce qui équivaut à : X(ω)2 −(Y (ω) −1)2 = 0 ⇔(X(ω) −Y (ω) + 1)(X(ω) + Y (ω) −1) = 0 ⇔X(ω) −Y (ω) + 1 ou X(ω) + Y (ω) −1 ⇔X(ω) = Y (ω) −1 ou X(ω) = −Y (ω) + 1 Or X ≥0 et −Y + 1 ≤0. Donc on a finalement que A(ω) est inversible si et seulement si X(ω) = Y (ω) −1 ou X(ω) = 0 = −Y (ω) + 1 ⇔X(ω) = Y (ω) −1 Ainsi la probabilité pour que A ne soit pas inversible est égale à P(X = Y −1). Reste à calculer cette probabilité. On utilise le système complet d’évènements ([Y = k])k≥1 et la formule des probabilités totales : P(X = Y −1) = +∞ X k=1 P(X = Y −1, Y = k) = +∞ X k=1 P(X = k −1, Y = k) = +∞ X k=1 P(X = k −1)P(Y = k) car les variables sont indépendantes = +∞ X k=1 λk−1 (k −1)!e−λ(1 −p)k−1p = pe−λ +∞ X k=1 (λ(1 −p))k−1 (k −1)! = pe−λeλ(1−p) = pe−λp Finalement, la probabilité que A soit inversible est donc égale à 1 −pe−λp. Exercice 7.6 (⋆⋆) Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes, telles que X suit la loi P(λ) et Y suit la loi P(µ). Déterminer la loi de X sachant [X + Y = n]. 2 ECS2 Lycée Louis Pergaud On a X([X + Y = n]) = J0, nK. Pour tout k ∈J0, nK, on a : P[X+Y =n](X = k) = P([X = k] ∩[X + Y = n]) P(X + Y = n) = P([X = k] ∩[Y = n −k]) P(X + Y = n) = P(X = k)P(Y = n −k) P(X + Y = n) car X et Y sont indépendantes. De plus, par stabilité de la loi de Poisson, on a X + Y , →P(λ + µ). On obtient donc : P[X+Y =n](X = k) = λk k! e−λ µn−k (n−k)!e−µ (λ+µ)n n! e−(λ+µ) = n! k!(n −k)! λkµn−k (λ + µ)n = n k   λ λ + µ k  µ λ + µ n−k Ainsi la loi de X sachant [X + Y = n] est une loi binomiale B(n, λ λ+µ). Exercice 7.7 (⋆⋆) Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes d’un même espace probabilisé (Ω, A , P) et suivant la même loi G (p). 1. Déterminer la loi de la variable aléatoire X + Y . Admet-elle une espérance ? 2. Déterminer la loi de la variable aléatoire S = sup(X, Y ). Admet-elle une espérance ? 3. Déterminer la loi de la variable aléatoire I = inf(X, Y ). Admet-elle une espérance ? 4. Montrer que la variable aléatoire SI admet une espérance et la calculer. Exercice 7.8 (⋆⋆⋆- Minimum, maximum de lois uniformes) On considère une urne contenant n boules numérotées de 1 à n, et on effectue des tirages avec remise dans cette urne. On note X le numéro de la première boule extraite, et Y le numéro de la seconde. On note également I le plus petit des numéros tirés, et S le plus grand. 1. Donner la loi de I et de S. 2. Montrer que E(S) = (n + 1)(4n −1) 6n , E(I) = (n + 1)(2n + 1) 6n , puis que V (S) = V (I) = (n + 1)(n −1)(2n2 + 1) 36n2 . 3. Déterminer une relation liant X, Y, S et I. En déduire V (S + I), puis ρS,I = n2 −1 2n2 + 1. 1. On a X, Y , →U (J1, nK), donc I(Ω) = J1, nK. Pour tout k ∈J1, nK, on a [I > k] = [X > k] ∩[Y > k] et donc : P(I > k) = |{z} X,Y indép. P(X > k)P(Y > k) = |{z} X,Y de même loi P(X > k)2 = n −k n 2 . Notons que cette égalité est encore vraie pour k = 0 car P(I > 0) = 1 = n −0 n 2 . On obtient alors que k ∈J1, nK : P(I = k) = P(I > k −1) −P(I > k) = n −k + 1 n 2 − n −k n 2 = 2n −2k + 1 n2 . La loi de S avait été déterminée en cours, on avait obtenu S(Ω) = J1, nK et : ∀k ∈J1, nK, P(S = k) = k n 2 − k −1 n 2 = 2k −1 n2 . 3 ECS2 Lycée Louis Pergaud 2. I et S étant des variables aléatoires finies, elles admettent une espérance et une variance. Pour I, on a : E(I) = n X k=1 kP(I = k) = n X k=1 k 2n −2k + 1 n2 = 2n + 1 n2 n X k=1 k ! −2 n2 n X k=1 k2 ! = 2n + 1 n2 n(n + 1) 2 −2 n2 n(n + 1)(2n + 1) 6 = 3(n + uploads/s3/ ecs2-td7-correction 1 .pdf

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