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Université Cheikh Anta Diop de Dakar Faculté des Sciences et Techniques Départe

Université Cheikh Anta Diop de Dakar Faculté des Sciences et Techniques Département de Mathématique et Informatique L2TDSI| Math-Crypto|2018-2019 Mr. SALL/ Dr. Ndiaye sallm37@yahoo.com /ouzdeville@gmali.com Trigonalisation et Jordanalisation : SERIE 6 Exercice 1 Trigonaliser la matrice suivante : A=   1 4 −2 0 6 −3 −1 4 0   Exercice 2 Considérons la matrice suivante dans M3(R) : A=   3 0 −1 2 2 −1 1 0 1   1) Calculer le polynôme caractéristique PA(x) de A. 2) Justiﬁer que la matrice A est trigonalisable. 3) Trigonaliser A. Exercice 3 Soient les matrices : A=   −7 0 4 8 1 −4 −8 0 5  =   1 36 −π 0 −3 π 0 0 1   1) Calculer les polynômes caractéristiques et minimaux de A et B. 2) Les matrices A et B sont-elles semblables ? 3) Calculer An en fonction de A et n. 4) Calculer etA pour tout t ∈R. Exercice 4 Soient α ∈R etla matrice suivante Aα=   −1 0 α + 1 1 −2 0 −1 1 α   1) Factoriser le polynôme caractéristique PAα(x) en produit de facteurs du premier degré.. 2) Déterminer selon la valeur du paramètre α les valeurs propres distinctes de Aα et leur multiplicité. 3) Déterminer les valeurs de α pour lesquelles la matrice Aα est diagonalisable. 4) Déterminer selon la valeur de α le polynôme minimal de Aα. 5) On suppose que α = 0, on note A0 = A et l’endomorphisme de R3 associé à la matrice A. a) Déterminer les sous-espaces propres et caractŕistiques de A. b) Démontrer que le sous-espace vectoriel ker(A + I)2 est un plan stable par f . Exercice 5 Soit la matrice B=     2 0 0 0 0 2 1 0 0 0 2 0 1 0 0 2     1) Montrer que B possède une seul valeur propre λ que l’on calculera. 2) Soit C = B −λI4 a) Montrer que C est nilpotente ; b) Jordanaliser C (c’est à dire déterminer la matrice inversible P qui met C sous la forme réduite de Jordan J) c) Montrer que B et J + λI4 sont semblables (J est la forme réduite de Jordan de C) 1 Exercice 6 Soit A=     −4 1 0 1 −2 −1 0 1 −12 6 3 1 −2 1 0 −1     1) Déterminer les valeurs propres de A. 2) Déterminer les sous espaces propres de A et leurs dimensions. 3) Déterminer les sous espaces caractéristiques de A. 4) Jordanaliser A. Exercice 7 Soit U l’endomorphisme de R2 déﬁni par ∀(x, y) ∈R2, U(x, y) = (x cos π n −(x + y √ 2) sin π n, y cos π n + (y + x √ 2) sin π n) où n est un entier naturel non nul. 1) Exprime U 2 = U ◦U en fonction de U et IdR2. Indication : Calculer le polynôme caractéristique de U et appliquer le théorème de Caley- Hamilton. 2) Calculer U k pour tout k ≥2 Exercice 8 Soit E un espace vectoriel de dimension 3. 1) Soit u un endomorphisme nilpotent de E. a) Montrer que le polynôme caractéristique de u est Pu(x) = −x3. b) Donner toutes les réduites de Jordan possibles pour u, à l’ordre des bloc près. c) On suppose que que le polynôme minial de u est mu(x) = x3. Montrer qu’il existe un vecteur non nul x de E tel que B= {x, u(x), u2(x)} est une base deE. d) Écrire la matrice de u dans la base B. 2) Soit f un endomorphisme de E dont la réduite de Jordan est formée d’un seul bloc Jλ =   λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ   a) Montrer que l’endomorphisme v = f −λidE est nilpotent. b) Construire une base de E dans la quelle la matrice de f est Jλ. 3) Soit h l’endomorphisme de R3 représenté dans la base canonique par la matrice suivante : A =   1 1 3 2 −2 2 −3 −1 −5   a) Calculer le polynôme caractéristique de h. Montrer que le polynôme minimal de h est mh(x) = (x + 2)3 b) Déterminer une réduite de Jordande h. c) Construire une base de Jordan de h. 2 uploads/s3/ td6-trigo-et-jordan-algebre-18-19 1 .pdf