Mathématiques - Série D, E, F, GCE/AL - Page 1 sur 3 PREPAVOGT B.P. : 765 Yaoun

Mathématiques - Série D, E, F, GCE/AL - Page 1 sur 3 PREPAVOGT B.P. : 765 Yaoundé Tél. : 22 01 63 72 / 96 16 46 86 Yaoundé, le 22 Mai 2015 E-mail. : prepavogt@yahoo.fr www.prepavogt.org CYCLE INGENIEUR CONCOURS D’ADMISSION SERIE D, E, F, GCE/AL EPREUVE DE MATHEMATIQUES DUREE : 3 HEURES EXERCICE 1 : (5,5 POINTS) 1) P est un polynôme complexe qui est défini par :  =  + 3  −5 + 5 . 1) a) Vérifier que le nombre complexe −1 −i est une racine de P. 0,25pt 1) b) Déterminer les complexes a et b tels que : Pz = z + 1 + iz + az + b. 0,50pt 1) c) Résoudre dans ℂ l’équation : Pz = 0. 1,00pt 2) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal O; u  , v  . On donne trois points A, B et C d’affixes respectives z = −1 −i, z = 2 −i et z" = −1 + 2i. 2) a) Déterminer l’ensemble (D) des points M d’affixe z qui vérifie : |z −2 + i| = |z + 1 −2i|, puis vérifier que le point A appartient à (D). 0,75pt 2) b) Calculer un argument du nombre complexe $%& $' $(& $', puis en déduire la mesure principale de l’angle orienté AC  , AB  , . 0,75pt 2) c) En déduire la nature exacte du triangle ABC. 0,25pt 3) On considère la similitude direct S de centre B qui transforme le point A en C. 3) a) Déterminer le rapport et l’angle de la similitude S. 0,50pt 3) b) Donner l’écriture complexe de la similitude S. 0,50pt 3) c) (C) est le cercle circonscrit au triangle ABC, déterminer les caractéristiques de (C’) image de (C) par S et construire (C) et (C’) sur la même figure. 1,00pt grandprof.org Mathématiques - Série D, E, F, GCE/AL - Page 2 sur 3 EXERCICE 2 (4,5 POINTS) : Les deux questions sont indépendantes. 1) Une urne contient dix boules indiscernables au toucher : cinq vertes, trois rouges et deux jaunes. On tire au hasard et simultanément trois boules de cette urne. 1) a) On considère les évènements : A « Les boules tirées sont vertes », B « Les boules tirées sont de la même couleur » et C « Les boules tirées sont chacune d’une couleur différente. » Calculer les probabilités p(A), p(B), et p(C). 1,25pt 1) b) A chaque tirage, on associe le nombre X de couleurs obtenues. Déterminer la loi de probabilité de X et calculer son espérance mathématique. 1,25pt 2) Une entreprise achète, utilise et vend des machines après un certain nombre xi d’années. Après six années, l’évolution du prix de vente yi d’une machine en fonction du nombre d’années d’utilisation se présente comme suit : Nombre d’années xi 1 2 3 4 5 6 Prix yi en milliers de FCFA 150 125 90 75 50 45 2) a) Déterminer une équation cartésienne de (D) la droite de régression de y en x. 1,50pt 2) b) En déduire une estimation du prix de vente d’une machine après sept ans d’utilisation. 0,50pt PROBLEME (10 POINTS) : On donne la fonction numérique f définie sur ℝ par : fx = 2x −4. e 2 3 + 2 −x ; on note (C4 la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O; ı  , ȷ  1) Etude d’une fonction auxiliaire On donne la fonction g définie par : gx = x −e 82 3 . 1) a) Calculer les limites de g en −∞ :; + ∞. 0,50pt 1) b) Etudier la variation de g et dresser son tableau de variation. 0,75pt 1) c) Démontrer que l’équation gx = 0 admet une unique solution α tel que : 0,7 < > < 0,71. 0,50pt 1) d) Déterminer le signe de gx. 0,50pt grandprof.org Mathématiques - Série D, E, F, GCE/AL - Page 3 sur 3 2) Etude de la fonction f et construction de la courbe de f 2) a) Calculer de façon rigoureuse les limites de f en −∞ et + ∞. 1,00pt 2) b) Calculer la dérivée f’(x), puis exprimer celle-ci en fonction de g(x). 0,75pt 2) c) En déduire les variations de f et dresser le tableau de variation. 1,00pt 2) d) Démontrer que fα = 4 −α − @ A ; puis en déduire un encadrement de fα d’amplitude 10-1. 1,00pt 2) e) Démontrer que la droite (D) d’équation y = −x + 2 est asymptote à la courbe de f au voisinage de −∞. 0,50pt 2) f) Calculer les coordonnées des points d'intersection de la courbe de f et de l’axe des abscisses. On les appellera A et B. 0,50pt 2) g) Soit E le point d’intersection de (C4 avec l’axe des ordonnées. Etablir l’équation de la tangente (T) à (C4 en E. 0,50pt 2) h) Construire (D), (T) et (C4. 1,00pt 3) Calcul d’aire 3) a) Calculer l’aire Aβ de la partie du plan délimitée par la courbe de f, la droite (D) et les droites d’équation x = β et x = 0 avec β < 0. 1,00pt 3) b) Calculer la valeur de Aβ lorsque β tend vers −∞. 0,50pt Fin de l’épreuve grandprof.org uploads/s3/ epreuve-maths-cycle-ingenieur-serie-d-prepavogt-mai-2015.pdf

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