Exercice 3 Corrigé LES MATHÉMATIQUES AU BACCALAURÉAT S NOMBRES COMPLEXES, BAC S

Exercice 3 Corrigé LES MATHÉMATIQUES AU BACCALAURÉAT S NOMBRES COMPLEXES, BAC S • Affixe d’un nombre complexe • Écriture algébrique d’un nombre complexe • Nombre complexe conjugué • Écriture géométrique d’un nombre complexe • Écriture trigonométrique d’un nombre complexe • Argument d’un nombre complexe • Module d’un nombre complexe • Partie imaginaire d’un nombre complexe • Partie réelle d’un nombre complexe • Représentation géométrique d’un nombre complexe • Triangle équilatéral direct 1 freemaths . fr, 2019 Corrigé - Bac - Mathématiques - 2019 Freemaths : Tous droits réservés freemaths . fr 1. a.  Donnons la forme algébrique des nombres complexes z 2 et 1 z : Ici: z = i . Dans ces conditions: • z2 = - 1, • 1 z = 1 i = 1 i x i cad: 1 z = - i . Ainsi: z2 = - 1 et 1 z = - i . 1. b.  Plaçons les points N1 ( - 1 ) et P1 ( - i ) sur le graphique: Nous avons le graphique suivant avec: A ( 1 ), N1 ( - 1 ) et P1 ( - i ) . Nous remarquons que les points A, N1 et P1 ne sont pas alignés . Graphique à la fin du corrigé ! EXERCICE 3 Partie A: Étude d’exemples [ Inde, Pondichéry 2019 ] 2 freemaths . fr, 2019 Corrigé - Bac - Mathématiques - 2019 Freemaths : Tous droits réservés 2.  Résolvons dans l’équation z2 + z + 1 = 0: Soit l’équation: z2 + z + 1 = 0 . = 1 - 4 x 1 x 1 cad: = - 3 = ( 3 i ) 2 < 0 . D’où deux solutions dans : • z1 = - 1 - √ 3 i 2 , • z2 = - 1 + √ 3 i 2 . Au total, l’équation z2 + z + 1 admet 2 solutions dans : z1 = - 1 - √ 3 i 2 et z2 = - 1 + √ 3 i 2 . 3. a.  Déterminons la forme exponentielle de z, z2 et 1 z : Ici: z = - 1 2 + i √ 3 2 . • La forme exponentielle de z: • Le module de z est: - 1 2 + i √ 3 2 = 1 . • Soit ݂ l’argument de z: z = 1 x - 1 2 + i √ 3 2 = 1 x ( cos ( ݂ ) + i sin ( ݂ ) ) . Par identification: cos ݂ = - 1 2 => ݂ = 2 3 + 2 k , k ı . sin ݂ = √ 3 2 3 freemaths . fr, 2019 Corrigé - Bac - Mathématiques - 2019 Freemaths : Tous droits réservés Ainsi: z = 1 x e i 2 3 . • La forme algébrique de z2: z2 = 1 x e i 2 3 2 . D’où: z2 = e i 4 3 . Ainsi: z2 = e i 4 3 = e - i 2 3 . • La forme algébrique de 1 z : 1 z = 1 e - i 2 3 . D’où: 1 z = e - i 2 3 . Ainsi: 1 z = e - i 2 3 . 3. b.  Plaçons les points N2 ( z2 ) et P2 1 z sur le graphique: Nous avons le graphique suivant avec: N2 e - i 2 3 et P2 e - i 2 3 . Nous remarquons que les points A, N2 et P2 sont alignés: normal car N2 et P2 sont confondus ! Graphique à la fin du corrigé ! 4 freemaths . fr, 2019 Corrigé - Bac - Mathématiques - 2019 Freemaths : Tous droits réservés Partie B: 1.  Etablissons que pour tout z *, z2 - 1 z = ( z2 + z + 1 ) 1 - 1 z : Développons: ( z2 + z + 1 ) 1 - 1 z . ( z2 + z + 1 ) 1 - 1 z = z2 - z + z - 1 + 1 - 1 z = z2 - 1 z . D’où pour tout z ı *, nous avons bien: ( z2 + z + 1 ) 1 - 1 z = z2 - 1 z . 2.  Déduisons-en que pour tout z *, les points A, N et P sont alignés ssi z2 + z + 1 est un réel: Pour tout z 0, les points A, N et P sont alignés ssi: les vecteurs PN et PA sont colinéaires . Ici: • PN a pour affixe: z2 - 1 z , • PA a pour affixe: 1 - 1 z . Or les vecteurs PN et PA sont colinéaires ssi il existe un nombre réel k tel que: PN = k . PA . Or: z2 - 1 z = ( z2 + z + 1 ) 1 - 1 z <=> PN = ( z2 + z + 1 ) PA <=> PN = k . PA, avec: k = ( z2 + z + 1 ) . 5 freemaths . fr, 2019 Corrigé - Bac - Mathématiques - 2019 Freemaths : Tous droits réservés Donc les vecteurs PN et PA sont colinéaires ssi: k . Ainsi: les points A, N et P sont alignés ssi k = z2 + z + 1 ı ¨ . 3.  Justifions que z2 + z + 1 = 2 - y 2 + + 1 + i ( 2 y + y ): Ici: z = x + i y . D’où: z2 + z + 1 = ( x + i y ) 2 + ( x + i y ) + 1 = x 2 - y 2 + 2 i x y + x + i y + 1 = x 2 - y 2 + x + 1 + i ( 2 x y + y ) . Au total, nous avons bien: z2 + z + 1 = x 2 - y 2 + x + 1 + i ( 2 x y + y ) . 4. a.  Déterminons l’ensemble des points M d’affixe z 0 tels que les points A, N et P soient alignés: Les points M d’affixe z 0 tels que les points A, N et P soient alignés vérifient le système: x 2 - y 2 + x + 1 = X, X ı ¨ 2 x y + y = 0 car: z2 + z + 1 est un réel <=> x 2 - y 2 + x + 1 = X y ( 2 x + 1 ) = 0 <=> x = - 1 2 ou y = 0 . 6 freemaths . fr, 2019 Corrigé - Bac - Mathématiques - 2019 Freemaths : Tous droits réservés Au total, l’ensemble des points M demandé est: l’ensemble des points d’abscisse égale à - 1 2 ou d’ordonnée égale à 0, privé du point O ( 0 ; 0 ) . 4. b.  Traçons cet ensemble de points sur le graphique: L‘ensemble des points M d’affixe z 0 tels que les points A, N et P soient alignés est représenté sur le graphique suivant: uploads/s3/ bac-s-mathematiques-inde-2019-specialite-corrige-exercice-3-nombres-complexes 1 .pdf

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