Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Exercices sur les groupes 1 Soit (G, •) un groupe d’élément neutre e. On consid

Exercices sur les groupes 1 Soit (G, •) un groupe d’élément neutre e. On considère deux éléments x et y de G tels que l’on ait   p xy e  où p est un entier naturel non nul. Démontrer que l’on a :  p yx e . 2 Soit (G, •) un groupe d’élément neutre e tel que, pour tout élément x de G, on ait 2 x e . Démontrer que G est abélien. 3 Soit (G, •) un groupe fini. Soit H un sous-groupe de G tel que 1 card H card G 2  . Le but de cet exercice est de démontrer que H G  . 1°) Soit g un élément de G. On pose   H , H g hg h   . Démontrer que h hg  induit une bijection de H sur Hg. 2°) Démontrer que H Hg   . 3°) Conclure. 4 (Utilise le résultat de l’exercice précédent) Soit (G, •) un groupe fini et f un homomorphisme de G dans G tel que    1 1 card G card G 2 x / f x x    . Démontrer que G id f f   . Indication : On pourra considérer l’ensemble     H G / x f f x x     puis démontrer que H est un sous-groupe qui contient    1 G x / f x x   . 5 Soit (G, •) un groupe fini. Soit A et B deux parties de G telles que card A card B card G   . Le but de cet exercice est de démontrer que G AB  c’est-à-dire que G x    , A B a b    tel que x = ab. 1°) a) Soit x un élément de G. On pose   1 1 A , A x a x a     . Démontrer que 1 a a x   induit une bijection de A sur 1 A x  . b) Démontrer que l’on a 1 A B x    . 2°) Conclure. 6 Soit (G, •) un groupe. Démontrer que    G G G Z a / b a b b a       est un sous-groupe commutatif de G. Démontrer que pour tout élément  dans G et pour tout élément a de Z(G) on a : 1 G a      . On dit que Z(G) est un sous-groupe distingué ou normal de G. 7 Groupe du rectangle Soit D et D' deux droites perpendiculaires du plan P. On note O leur point d’intersection. Démontrer que l’ensemble   ' O G id , , , P D D S S S  muni de la loi de composition des applications est un groupe. Établir sa table. 8 Soit (G, •) un groupe. On se propose de démontrer que si A est une partie finie non vide de G stable par la loi •, alors A est un sous- groupe de G. 1°) Méthode 1 a) Soit a un élément de A. Démontrer qu’il existe deux entiers naturels k et l distincts tels que k l a a  . b) Conclure. 2°) Méthode 2 a) Soit a un élément de A. Démontrer que l’application  : A  A est bijective. x  ax b) Conclure. 9 Soit (G, •) un groupe d’élément neutre e. 1°) Démontrer que l’hypothèse «   2 , G x y     2 2 2  xy x y » entraîne la commutativité de G. 2°) On suppose l’existence d’un entier naturel n pour lequel on a les trois propriétés   2 , G x y     n n n xy x y   2 , G x y     1 1 1     n n n xy x y   2 , G x y     2 2 2     n n n xy x y . a) Démontrer que   2 , G x y    n n xy y x . b) Démontrer que   2 , G x y   1 1    n n xy y x . c) Démontrer que G est commutatif. 10 Soit G le groupe des racines septièmes de l’unité. 1°) Démontrer l’application f de G dans G définie par  3 f x x  est un automorphisme de groupe. 2°) Calculer   2 G 1    . 11 Dans , on définit la loi de composition interne  définie par – a b a b ab    . On pose  \ 1 E  . 1°) Démontrer que (E, ) est un groupe. 2°) Soit a un réel quelconque. Calculer éléments ... n a a       (n  , n  2). On pourra observer que :    1– 1– 1– a b a b   . 12 Dans , on définit la loi de composition interne  définie par 3 3 3 a b a b    . Démontrer que   ,  est un groupe. 13 Soit (E, ) un ensemble muni d’une loi de composition interne et F un ensemble. Soit f une application bijective de E dans F. On pose pour tout couple (a, b) d’éléments de F, on pose   1 1 T a b f f a f b        . 1°) Démontrer que f est un isomorphisme de (E, ) dans (F, T). 2°) Démontrer que si (E, ) est un groupe, alors (F, T) est aussi un groupe. 3°) Soit ( ' F , T') un ensemble muni d’une loi de composition interne et g une application de ' F dans F. Démontrer que g est un homomorphisme de ( ' F , T') dans (F, T) si et seulement si il existe un homomorphisme h de ( ' F ,T') dans (E, ) tel que g = f  h. 14 Dans , on définit la loi de composition interne  définie par a b a b ab     . 1°) Étudier les propriétés de la loi . Déterminer l’ensemble E des éléments inversibles par la loi interne . Que peut-on dire de (E, ) ? 2°) Soit a un réel quelconque. Calculer éléments ... n a a       (n  , n  2). On pourra observer que :    1 1 1 a b a b     . 3°) Déterminer les applications continues de  dans  telles que pour tout couple (x ; y) de réels on ait f (x + y) = f (x)  f (y). 15 Pour tout groupe (G, •), on note Z (G) le centre de G, ensemble des éléments de G qui commutent avec tous les éléments de G : Z (G) = {x  G /  a  G x • a = a • x}. 1°) Démontrer que Z (G) est un sous-groupe commutatif de G. 2°) Soit (G, •) et (G, ) deux groupes et f un homomorphisme de G dans G. a) Démontrer que si f est surjectif, alors      G G' f Z Z  . b) Démontrer que si f est injectif, alors      1 G' G f Z Z   . Rappel : si f est une application d’un ensemble E dans un ensemble F, on appelle image réciproque d’une partie B de F l’ensemble    1 B / ( ) B f x E f x     (ensemble des antécédents des éléments de B). 16 Soit (G, •) un groupe. On note e son élément neutre. On considère deux éléments a et b tels que l’on ait : 1 2 a b a b     et 1 2 b a b a     . Calculer (a • b) • (b • a). En déduire que a et b sont inverses l’un de l’autre puis que a b e  . 17 On pose * 1 , E n n          . 1°) L’addition est-elle une loi de composition interne sur E ? 2°) Même question pour la multiplication. 18 Soit E un ensemble non vide muni d’une loi de composition interne associative notée . Soit x et y deux éléments quelconques de E tels que x • y = y • x. Démontrer que pour tout couple    2 * ; n uploads/s3/ ex-sur-les-groupes-version-15-1-2016.pdf