Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Agr´ egation de Math´ ematiques Exercices sur les groupes P. HUBERT La plupart

Agr´ egation de Math´ ematiques Exercices sur les groupes P. HUBERT La plupart des exercices ci-dessous se trouvent dans les livres suivants : - A. Bouvier, D. Richard, Groupes, - S. Francinou, H. Gianela, Exercices de math´ ematiques pour l’agr´ egation (Alg` ebre 1), - R. Goblot, th` emes de g´ eom´ etrie (agr´ egation de math´ ematiques), - E. Leichtnam, X. Schaeur, Exercices corrig´ es de math´ ematiques pos´ es ` a l’oral des concours de polytechnique et des ´ ecoles normales sup´ erieures (tome 1). - R. Mneimn´ e, El´ ements de g´ eom´ etrie, actions de groupes, - D. Perrin, Cours d’Alg` ebre, - E. Ramis, C. Deschamp, J. Odoux, Cours de math´ ematiques sp´ eciales (tome 1), - E. Ramis, C. Deschamp, J. Odoux, Alg` ebre (exercices avec solutions), Les ´ enonc´ es donn´ es ici sont souvent beaucoup plus d´ etaill´ es que ceux que l’on que trouve dans les livres, les indications sont mentionn´ ees entre [[ ]]. Les exercices les plus diﬃciles sont rep´ er´ es par une ∗et ceux qui font partie int´ egrante du cours par un ⋄. Il est n´ ecessaire de faire tous les exercices de la section 1 (qui sont tr` es ´ el´ ementaires) avant de chercher les autres. Lorsque ce n’est pas pr´ ecis´ e les groupes sont not´ es multiplicativement et la loi est ., e est l’´ el´ ement neutre du groupe. 1 Propri´ et´ es ´ el´ ementaires des groupes Exercice 1: Construire, ` a isomorphisme pr` es, les groupes ` a n ´ el´ ements pour 1 ≤ n ≤4. Exercice 2: Soit G un groupe et H une partie ﬁnie, non vide, de G stable pour la loi ., montrer que H est un sous-groupe de G. Exercice 3: Soit G un groupe ﬁni de cardinal n et m un entier premier avec n. Montrer que, pour tout y ´ el´ ement de G, il existe un unique x ´ el´ ement de G tel que xm = y. [[Utiliser le th´ eor` eme de Bezout.]] Exercice 4: Soit (G, .) un groupe ﬁni de cardinal n. On suppose que, tout x ´ el´ ement de G, satisfait l’´ egalit´ e x2 = e. 1 2 1. Montrer que G est un groupe commutatif. 2. Soit A = {a1, . . . , ap} une partie g´ en´ eratrice de G, montrer que : ∀x ∈G, ∃(ε1, . . ., εp) ∈(Z Z/2Z Z)p tels que, x = aε1 1 . . . aε1 p . 3. On suppose, dans les questions suivantes, que A est une partie g´ en´ eratrice de cardinal minimum p. Montrer que l’´ ecriture : x = aε1 1 . . . aε1 p est unique. 4. Soit Φ l’application d´ eﬁnie par : Φ : G → (Z Z/2Z Z)p x 7→ (ε1, . . . , εp). Montrer que Φ est bien d´ eﬁnie et que c’est un isomorphisme de groupes. En d´ eduire que le cardinal de G est 2p. Exercice 5: Soit p un nombre premier ﬁx´ e, soit Up = {exp(2iπa pα ), a ∈Z Z, PGCD(a, p) = 1, α ∈I N } 1. Montrer que Up est un groupe inﬁni dont tous les ´ el´ ements sont d’ordre ﬁni. Trouver l’ordre de exp(2iπa pα ), pour a entier premier avec p et pour α ∈I N. 2. Montrer que tout sous-groupe strict de Up est cyclique. [[Soit H un sous-groupe de Up. Montrer tout d’abord que, si x = exp(2iπa pα ) appartient ` a H alors, tout z = exp(2iπb pβ ) avec β ≤α appartient ` a H. ]] Exercice 6: Soit G un groupe. 1. On suppose G muni d’une relation d’ordre not´ e ≤. On suppose de plus que ≤ est compatible avec la loi ., c’est-` a-dire : ∀a, b, x ∈G, a ≤b ⇒ ( ax ≤ bx xa ≤ xb On note P = {x ∈G, x ≥e}. Montrer que : a ≤b ⇒b−1 ≤a−1 (1) P.P ⊂P (2) P ∩P−1 = {e} (3)∀x ∈G, xPx−1 ⊂P 3 2. R´ eciproquement, ´ etant donn´ e une partie P de G v´ eriﬁant (1), (2), (3), montrer que la relation binaire d´ eﬁnie par : ∀a, b ∈G, a ≤b ⇔b.a−1 ∈P est une relation d’ordre compatible avec . satisfaisant P = {x ∈G, e ≤x}. Exercice 7: Soit G un groupe et Σ1, . . .Σn des morphismes distincts de G dans (C∗, ×). Montrer que Σ1, . . . , Σn sont lin´ eairement ind´ ependants sur C dans l’espace vectoriel des fonctions de G ` a valeurs dans C. [[On pourra faire intervenir une combinaison lin´ eaire des (Σi) de cardinal minimum.]] 2 Sous-groupes distingu´ es, groupes quotients Exercice 8 ⋄: [Normalisateur] Soit H un sous-groupe de G, on appelle normalisateur de H l’ensemble des x ´ el´ ements de G, tels que xHx−1 = H ; le normalisateur de H est not´ e NH. 1. Montrer que NH est un sous-groupe de G et que H est distingu´ e dans NH. 2. Soit K un sous groupe de G contenant H et tel que H soit distingu´ e dans K. Montrer que K est un sous-groupe de NH ; en d´ eduire que NH est le plus grand sous-groupe de G dans lequel H est distingu´ e. 3. Soit K un sous-groupe de NH montrer que HK est un groupe et que H est distingu´ e dans HK. 4. Soient H et K deux sous-groupes de G. Montrer que HK est un groupe si et seulement si HK = KH. Exercice 9 ⋄: 1. Soit G un groupe, H et K deux sous-groupes de G, on suppose que H est contenu dans le normalisateur de K. Montrer que H ∩K est un sous-groupe distingu´ e de H. Montrer que H/(H ∩K) est isomorphe ` a HK/K. [[Utiliser le th´ eor` eme de factorisation des morphismes.]] 2. Soit G un groupe, H et K deux sous-groupes distingu´ es de G tel que K est contenu dans H. Montrer que K est distingu´ e dans H. Montrer que (G/K)/(H/K) est isomorphe ` a G/H. [[Utiliser le th´ eor` eme de factorisation des morphismes.]] 4 Exercice 10: Soit G un groupe tel que G/Z(G) est cyclique, (Z(G) est le centre de G), montrer que G est ab´ elien. Exercice 11 ⋄: [Sous-groupe d´ eriv´ e] Soit G un groupe, on note D(G) (sous-groupe d´ eriv´ e de G) le sous groupe en- gendr´ e par : {xyx−1y−1, o` u x, y ∈G}. 1. Montrer que G est ab´ elien si et seulement si D(G) est r´ eduit ` a l’´ el´ ement neutre. 2. Montrer que D(G) est invariant par tout automorphisme de G. En d´ eduire que D(G) est un sous-groupe distingu´ e de G. 3. Montrer que G/D(G) est un groupe commutatif. 4. Soit H un sous-groupe de G tel que G/H est commutatif, montrer que D(G) est inclus dans H. 3 Groupes ab´ eliens Exercice 12 ⋄: Soit G un groupe ab´ elien ﬁni, a et b deux ´ el´ ements de G. On note O(a) l’ordre de a et O(b) l’ordre de b. Le but de l’exercice est de voir quelles sont les valeurs que peut prendre l’ordre de l’´ el´ ement ab. 1. Soit p entier non nul tel que (ab)p = e, soit m le PPCM de p et O(a), n le PPCM de p et O(b). Montrer que O(a) divise n et que O(b) divise m. 2. En d´ eduire que O(ab) est le PPCM de O(a) et O(b) si aucun facteur premier ne ﬁgure ` a un mˆ eme exposant non nul dans les d´ ecompositions en facteurs premiers de O(a) et O(b). En d´ eduire que lorsque O(a) et O(b) sont premiers entre eux, alors O(ab) = O(a)O(b). 3. Montrer que le r´ esultat pr´ ec´ edent est faux en g´ en´ eral. 4. Notons d le PGCD de O(a) et O(b) et M le PPCM de O(a) et O(b), en utilisant la premi` ere question, montrer que : M d divise O(ab) et que O(ab) divise M. 5. En choisissant des ´ el´ ements convenables dans le groupe G = Z Z/2Z Z × Z Z/8Z Z, v´ eriﬁer que l’on peut avoir : M d < O(ab) < M. 6. Montrer qu’il existe toujours dans G un ´ el´ ement d’ordre M. 5 7. Si G est non ab´ elien, donner un exemple o` u a et b sont d’ordre 2 et o` u ab est d’ordre inﬁni. Exercice 13 ⋄: [Indicateur d’Euler] Soit n un nombre entier naturel non nul, on pose : φ(n) = card {k, 1 ≤k ≤n, tels que k et n sont premiers entre eux}. Le but de l’exercice est de montrer la formule (⋆) : X d/n φ(d) = n. [[Soit d un diviseur de n, on montre qu’il y a φ(d) ´ el´ ements uploads/s3/ exos-groupes-agreg.pdf