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b'ffi&x:< # nlnb$É rra, l'Educrtta Xr{oû.}. d. L Fodaüon Prsrra.lffilb aL l'E rlemnt tuÊa.bsr.t & L RGh.æha tclslria* Calr! Nralold d. fÉvelsttior ct da Erru §xamenNatlonal du Brevet de Techniden Supérianr Segsion de Mai â)21 - Sujet - Mairæaancc Auomobilc / Encrgétiguc / MatièËe Plastiguct ct C.ompoeiteo / C-onception du Produit Industricl / Ehctromécaaique et §yeêmcr Âutomatiréa / Mathématiques 7 points Exercice 1 On considère dans CI l'équation (,8) : 22 - {L +Zi)z+3(1 +i) : 0. 1 pt L. Montrer que le discriminant de (E) est A : (1- 4i\2. 1 pt 2. Resoudre dans 0 l'équation (E). 1 pt 3. Ecrire les solutions de (E) sous forme trigonométrique. Exerciee 2 Les parties I et II de cet exercice sont indépendantes, 3 poidi Partie f : On considère l'intégrale généralisée suivante , I : l, xrf, - ra, 1 irl 1. Montrer que f est convergente. '12+r-2 r-1 r*2' 3. on pose /(a) : lr" A*-dr pour tout a ) 2. 1 1;1, (a) Montrer que I(a) : ln(a - 1) - ln(a - 2) + 21n2. 1 pr. (b) En déduire la raleur de 1. Partie II : Étudier la nature de chacune des séries numériques suivantes : I 1;t 1. )] f :'= i 1)" . (on pourra utiliser le critère de Cauchy) ' 3r\2e"*3/ \ r I 1,r , ;*. (O, pourra utiliser le critère de D'Alembert) ' 7^(n*,1, t -t1n 1 nt 3. ÿ-\: ' fitn{n+l de l'Examen National du Brevet de Technicien Supérieur - Session de Mai 2021- Épreuve : Methématiques : MÂ- Eaetgétiquc- MPC- CPI- ESÀ- Ptoductique-Mouüstc Exercice 3 Soit / la fonction définie sur IRz pa,r : 4 points îb,ù:a2*Y2-sY*x*Y 1 pr 1. calcuter ffA,y1 * ff@,ù. 1 pt 2. En déduire que f admet un seul point critique que l'on déterminera. 2 pts 3. Calculer #rr,ù,ffi@,ù " #@,y) etdéduire la nature du point critique de /. Exercice 4 On considère l'endomorphisme 1 de IR2 défini par : 6 points f(r,y):(4r,-2y,r*y) SoitB:(er,e2)labasecanoniquedelR2,(onrappelleeu€:e1 =(1,0) ete2=(0,1)). 0,5 pt, 1. Montrer que la matrice de / dans ia base 6 est ,4 : ( I .2 ). \1 1) O.ii pi; 2. Montrer que le polynôme caractéristique de .,{ est P1()) : (À - 2)(À - 3). 0.5 rt 3. En déduire les raleurs propres Àr et Àz de I où À: ( À2. 4. Soit B' : (ur,u2) où ?rr : (1,1) et u2: L'2,1). û,5 pi, (a) Établir que B'est une base de lRz i pt (b) Montrer eüe u1 et u2 sont des vecieurs propres de / associés respectivement aux vaieurs propres À1 et À2. l-r z t pt 5. Donner la matrice de passage P de B à 6' et vérifier eue P-] : I\r -1 ) 1pt ipt 6. 7. Déterminer la matnce diagonale D vérifiant A: PDP-L Calculer An en fonction de n pour tout n É IN. Sin 0c (épcanoe uploads/s3/ examen-2021-mouliste 1 .pdf