Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Ressources mathématiques > Base de données d'exercices > Exercices de dénombrem

Ressources mathématiques > Base de données d'exercices > Exercices de dénombrement - probabilités - statistiques > Accéder à mon compte > Accéder à ma feuille d'exercices > Exercices corrigés - Couple de variables aléatoires Vecteurs aléatoires discrets finis Exercice 1 - Loi marginale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé On dispose de boites numérotées de à . La boite contient boules numérotées de à . On choisit au hasard de façon équiprobable une boite, puis une boule dans cette boite. On note le numéro de la boite et le numéro de la boule. 1. Déterminer la loi conjointe du couple . 2. En déduire la loi de . 3. Calculer l'espérance de . Indication Corrigé 1. Pour tout dans , on a On en déduit que si , alors alors que si , 2. prend ses valeurs dans et on a 3. Pour calculer l'espérance, on applique la définition et on permute les sommes. Exercice 2 - Loi jointe uniforme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit un couple de variables aléatoires suivant une loi uniforme sur . 1. Déterminer la loi de , la loi de , la loi de . 2. et sont-elles indépendantes? Indication Corrigé 1. est à valeurs dans . On a, pour tout de , suit donc une loi uniforme sur . Par symétrie, il en est de même de . La variable aléatoire est à valeurs dans et pour tout dans cet intervalle d'entiers, on a Si , ceci devient égal à Si , la somme ne peut aller que jusque (car ) et ne peut commencer qu'en (car ) et donc 2. Les variables et sont indépendantes, car pour tout couple de , on a bien Exercice 3 - Vecteurs aléatoires et matrices [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé On considère un espace probabilisé et deux variables aléatoires et définies sur et à valeurs dans , où est un entier naturel supérieur ou égal à 2. On pose, pour tout couple On suppose que : 1. Vérifier que la famille ainsi définie est bien une loi de probabilité de couple. 2. Ecrire la matrice dont le terme général est . Vérifier que est diagonalisable. 3. Déterminer les lois de probabilité de et . 4. Pour tout couple , on pose : Déterminer la matrice dont le terme général est . Montrer que le vecteur est vecteur propre de . Indication Corrigé 1. Tous les scalaires sont positifs ou nuls. Comptons le nombre de non nuls. Ce sont les termes pour lesquels : soit , avec , soit les couples de la forme avec qui donne . Il y a donc tels termes. soit , avec , soit les couples de la forme avec qui donne . Il y a encore tels termes. Au total, il y a termes, et comme chacun vaut , la somme fait bien 1. 2. La matrice de a la forme : (les termes en sont au dessus et en dessous de la diagonale non principale). Elle est symétrique réelle, donc diagonalisable. 3. La loi de est donnée par . On trouve : . si . Matriciellement, cela signifie qu'on a fait la somme sur chaque ligne de . Par symétrie, suit la même loi que . 4. On a, pour tout , si et seulement si , et dans ce cas . si et seulement si , et dans ce cas . pour , si et seulement si ou . Donc : On vérifie alors aisément que est vecteur propre pour la valeur propre . Vecteurs aléatoires discrets infinis Exercice 4 - Couple géométrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soient et deux variables aléatoires à valeurs dans , telles que : pour tous de . 1. Calculer . 2. Déterminer les lois marginales de et . 3. et sont-elles indépendantes? Indication Corrigé 1. Il est d'abord nécessaire que . On a ensuite : 2. Pour , on a : suit donc une loi géométrique de paramètre . Par raison de symétrie, il en est de même pour . 3. On a : Les variables aléatoires sont indépendantes. Exercice 5 - Couple géométrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit et deux variables aléatoires indépendantes suivant la même loi géométrique de paramètre . On pose et . Soit en outre un entier strictement positif. 1. Calculer . 2. Calculer . En déduire . Quelle est la loi de ? 3. Les variables et sont-elles indépendantes? Indication Corrigé 1. L'événement s'écrit comme réunion (dénombrable et disjointe) des événéments élémentaires , . On a donc 2. On a si et seulement si et . Ces deux événements sont indépendants, et donc Or, Ainsi, suit une loi géométrique de paramètre . 3. Remarquons que les événements et sont égaux et égaux à . Si et étaient indépendantes, alors on aurait et En particulier, on devrait avoir , ce qui n'est pas le cas. et ne sont pas des variables aléatoires indépendantes. Exercice 6 - Guichet de poste [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Dans un bureau de poste, il y a deux guichets. Chacune des personnes arrivant à la poste choisit le premier guichet avec une probabilité , ou le deuxième guichet avec une probabilité . Les personnes effectuent leur choix de façon indépendante. En une heure, le nombre de personnes arrivés à la poste suit une loi de Poisson . On désigne par le nombre de personnes ayant choisi le premier guichet. 1. Exprimer la probabilité conditionnelle de sachant que . 2. En déduire la loi conjointe du couple . 3. Déterminer la loi de . On trouvera que suit une loi de Poisson de paramètre . Indication Corrigé 1. Pour chaque personne, le choix du premier guichet se fait avec une probabilité . Les choix sont indépendants les uns des autres, et compte le nombre de "succès" lorsqu'on réalise fois l'épreuve. On reconnait le schéma théorique d'une variable aléatoire de loi binomiale. On a donc : 2. On a : 3. Il faut réaliser la sommation! On a, tenant compte du fait que les premiers termes sont nuls : Exercice 7 - Naissances [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé On suppose que le nombre d'enfants dans une famille suit une loi de Poisson de paramètre . On suppose qu'à chaque naissance, la probabilité que l'enfant soit une fille est et celle que ce soit un garçon est . On suppose aussi que les sexes des naissances successives sont indépendants. On note la variable aléatoire correspondant au nombre de filles par familles, et celle du nombre de garçons. 1. Déterminer la loi conjointe du couple . 2. En déduire la loi de et celle de . Indication Corrigé 1. La probabilité est égale si (à nombre de naissances fixé, le nombre de filles suit une loi binomiale de paramètres et ), et si (ou ). On en déduit que 2. On déduit la loi marginale de à partir de la loi du couple : Ainsi, suit une loi de Poisson de paramètre . De même, suit une loi de Poisson de paramètre . Vecteurs aléatoires continus Exercice 8 - Tir à l'arc [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Théo fait du tir à l'arc sur une cible circulaire de rayon 1. On suppose que Théo est suffisamment maladroit pour que le point d'impact M de coordonnées soit uniformément distribué sur la cible. On note . 1. Quelle est la densité du couple ? 2. Déterminer les lois marginales de et de . 3. Les variables aléatoires et sont-elles indépendanes? Indication Corrigé 1. D'après l'énoncé, on a la constante permettant de normaliser cette densité (son intégrale vaut 1). 2. On applique la formule du cours : Par symétrie du rôle joué par et , on a aussi 3. Soit . Il est clair que et que . D'autre part, puisque , on a aussi Ainsi, et donc les variables aléatoires et ne sont pas indépendantes. Exercice 9 - Triangle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit l'intérieur d'un triangle du plan délimité par les points , et et soit un couple de variables aléatoires de loi uniforme sur le triangle . 1. Donner la densité du couple . 2. Calculer les lois marginales de et de . 3. Les variables aléatoires et sont-elles indépendantes? 4. Calculer la covariance du couple . Qu'en pensez-vous? Indication Corrigé 1. Puisque suit une loi uniforme sur le triangle dont l'aire est , la densité du couple est donnée par 2. On trouve la densité marginale en appliquant la formule du cours (par intégration). Remarquons que est à valeurs dans , et donc que si . Si , on en déduit On en déduit donc que Par symétrie, la densité de , , est égale à celle de , . 3. Soit . Il est clair que et . D'autre part, l'ensemble est disjoint de , et donc Les uploads/s3/ exercices-corriges-couple-de-variables-aleatoires.pdf