Christophe Basso FONCTIONS DE TRANSFERT ET CIRCUITS LINÉAIRES Introduction aux

Christophe Basso FONCTIONS DE TRANSFERT ET CIRCUITS LINÉAIRES Introduction aux techniques de calcul rapide © Dunod, 2017 11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff www.dunod.com ISBN 978-2-10-076457-0 Illustration de couverture : budgetstockphoto / istockphoto.com III Table des matières Au sujet de l’auteur V Avant-propos VII Remerciements XI 1 Analyse électrique – terminologie et théorèmes 1 1.1 Fonctions de transfert, une approche informelle 1 1.2 Les quelques outils et théorèmes que vous n’avez pas oubliés 14 1.3 Que dois-je retenir de ce chapitre ? 35 1.4 Annexe du chapitre 1 37 2 Fonctions de transfert 39 2.1 Systèmes linéaires 39 2.2 Constantes de temps 44 2.3 Formes polynomiales 51 2.4  Premiers pas vers une fonction de transfert généralisée du premier ordre 90 2.5 Que dois-je retenir de ce chapitre ? 120 2.6 Annexe du chapitre 2 122 3 Superposition et le théorème de l’extra-élément 123 3.1 Le théorème de superposition 123 3.2 Le théorème de l’extra-élément 135 3.3 Une fonction de transfert généralisée du premier ordre 169 3.4 Que dois-je retenir de ce chapitre ? 199 3.5 Annexe du chapitre 3 204 © Dunod - Toute reproduction non autorisée est un délit. IV Fonctions de transfert et circuits linéaires 4 Fonctions de transfert du deuxième ordre 205 4.1 Appliquer le théorème de l’extra-élément deux fois 205 4.2 Une fonction de transfert généralisée du deuxième ordre 251 4.3 Que dois-je retenir de ce chapitre ? 281 4.4 Annexe du chapitre 4 283 Conclusion 285 Index 287 V Au sujet de l’auteur Christophe Basso est « Technical Fellow » au sein de la société ON Semiconduc- tor où il développe des circuits de contrôle pour alimentations à découpage. Il est à l’origine de nombreux circuits intégrés parmi lesquels la série des NCP120X qui a permis de réduire considérablement la puissance de veille des convertis- seurs à découpage connectés au réseau électrique. Après son livre Switch-Mode Power Supplies: SPICE Simulations and Practical Designs, paru en 2008, il a publié un nouveau titre en 2012 avec Artech House, Designing Control Loops for Linear and Switching Power Supplies: a Tutorial Guide. Il possède 17 brevets en conversion de puissance et publie fréquemment des articles dans des magazines comme How2Power.com et Power Electronics and Technology (PET) par exemple. Christophe possède plus de 20 ans d’expérience dans le domaine de la conver- sion de puissance. Avant de rejoindre ON Semiconductor en 1999, Christophe était ingénieur applications chez Motorola à Toulouse. Avant 1997, il a travaillé à l’European Synchrotron Radiation Facility (ESRF) de Grenoble pendant près de 10 ans. Christophe possède un DUT délivré par l’université de Montpellier en 1985 et un master II obtenu avec l’Institut national polytechnique de Toulouse en 2007. Il est Senior Member de l’IEEE. Quand il n’écrit pas, Christophe apprécie la pratique de la raquette dans les Pyré- nées enneigées. © Dunod - Toute reproduction non autorisée est un délit. VII Avant-propos L’analyse des réseaux linéaires électriques et électroniques utilise des méthodes éprouvées basées sur la mise en équations des mailles et nœuds caractéristiques des circuits étudiés. Associée à la transformée de Laplace, cette approche permet de prédire le comportement d’un circuit passif ou actif en régime harmonique : un stimulus sinusoïdal est appliqué sur une entrée qui, après cheminement dans les différents éléments constitutifs du circuit, produit une réponse observée sur la sortie. La relation mathématique liant la réponse au stimulus se nomme fonction de transfert. Il en existe six types différents comme nous le découvrirons plus tard. De nombreux moyens permettent de déterminer cette fonction de transfert. Si tous conduisent au résultat exact, aucun n’offre un parcours simple vers une forme polynomiale factorisée. Or ce format reste indispensable si l’on souhaite identifier les éléments impliqués dans la production de zéros, de pôles ou de gains. En effet, ces termes sont associés à des composants dont la variabilité (tolérance, température, vieillissement par exemple) affecte la fonction de trans- fert et sa réponse en fréquence : dans un système bouclé, la stabilité peut pâtir d’une dispersion trop importante de l’un des éléments du compensateur, un filtre souffrira d’une perte de sélectivité si un condensateur ou une résistance dérivent en température ou encore, un oscillateur cessera toute activité car une résis- tance de moindre qualité dérèglera l’accord. On comprend dès lors la nécessité d’identifier les composants participant à la position des pôles et des zéros afin de prendre des mesures neutralisant leur variabilité. Parmi les méthodes analytiques généralement enseignées à l’université, aucune ne représente la panacée en termes d’efficacité. Que l’on évoque un système d’équations à plusieurs inconnues, une approche purement matricielle par les variables d’état ou encore la réduction de complexité par les théorèmes de Théve- nin et Norton, le nombre d’étapes et l’énergie nécessaires à l’obtention du résultat ne varient quasiment pas. Bien adaptées à une étude purement numérique, ces méthodes perdent en efficacité lorsqu’il s’agit d’établir un résultat symbolique, c’est-à-dire, sous une forme capable de révéler l’influence de chacun des compo- sants du circuit sur les pôles, les zéros ou le gain. Pire, selon le parcours adopté, la © Dunod - Toute reproduction non autorisée est un délit. VIII Fonctions de transfert et circuits linéaires complexité des équations peut interdire la factorisation et engendre le blocage : c’est la paralysie algébrique. La simulation par des logiciels spécialisés de type SPICE débouche, dans la plu- part des cas, sur la représentation graphique de la fonction de transfert. Les dia- grammes de Bode, Nyquist ou Black décrivent l’évolution du module et de la phase d’une fonction de transfert lors d’un balayage fréquentiel. Cependant, en dépit de sa rapidité de calcul, le simulateur ne révèle pas explicitement les élé- ments qui modifient le comportement du circuit considéré. Bien sûr, les études de sensibilité ou autre Monte Carlo peuvent pallier ce manque de compréhen- sion du système et identifier des failles de conception ou des faiblesses dans des conditions particulières. Ce processus itératif engendrera des temps de simula- tion conséquents sans toutefois délivrer de réponse analytique sur l’origine du problème. Les techniques de calculs rapides présentées dans ce livre ne remplacent pas les techniques traditionnelles mais en étendent la portée. Elles s’appuient sur l’élé- ment qui régit le comportement dynamique de tout circuit électrique organisé autour d’un condensateur ou d’une bobine et d’une ou plusieurs résistances : la constante de temps. Cette constante de temps – unique pour un système du premier ordre – apparaît dans l’expression de la réponse temporelle d’un cir- cuit linéaire. En étudiant l’organisation de la fonction de transfert autour de la constante de temps, il est possible d’établir une forme canonique caractéristique de tout système du premier ordre, étendue ensuite aux systèmes d’ordre n. L’iden- tification des pièces constitutives de cette expression se fait pas à pas. Chaque élément est obtenu par la résolution d’un circuit élémentaire simple pour lequel il est souvent inutile de poser la moindre équation. On parle alors de résolution par inspection, simplement en observant l’agencement des composants dans l’ar- chitecture étudiée afin d’en déduire une caractéristique particulière. La méthode fonctionne pour des circuits passifs mais également actifs, incluant des transis- tors et amplificateurs opérationnels. En déterminant ses coefficients par le biais de schémas intermédiaires simples puis en les combinant naturellement sous une forme factorisée, la fonction de transfert apparaît suivant un format ordonné dit à faible entropie, ne nécessitant aucune énergie complémentaire pour révéler ses termes caractéristiques. Enfin, si une erreur apparaît lors de l’assemblage final, il est aisé de corriger le coefficient erroné en se concentrant uniquement sur l’étape qui a mené à sa détermination. Il n’est donc pas nécessaire de reprendre le calcul dans son intégralité comme c’est le cas avec les méthodes traditionnelles. Basée sur des travaux d’Hendrik Bode datant des années 40, puis améliorée et formalisée au cours des années, cette méthode peine à trouver le succès qu’elle IX Avant-propos mérite malgré l’éclairage apporté par les travaux du professeur David Middle- brook sous la forme de son théorème de l’extra-élément (EET, Extra Element Theorem) documenté en 1990. Je pense que le formalisme mathématique alors utilisé et associé à des exemples souvent complexes a pu intimider le lecteur désireux de maitriser l’approche. Le présent ouvrage offre un regard résolument différent, basé sur l’expérience de l’auteur dans l’utilisation des techniques de calculs rapides (Fast Analytical Circuits Techniques, FACTs) sur des cas d’ingénie- rie concrets. En évoquant des circuits simples et appliquant des procédés connus tels que Thévenin ou Norton, le livre propose une approche didactique et simple dans l’apprentissage de cette méthode. Les quatre chapitres comportent de nom- breux exemples documentés et se terminent tous par l’étude de cas pratiques résolus. Ce livre s’adresse aux étudiants en électronique, électricité ou mesures physiques (IUT, BTS, masters I et II, écoles d’ingénieurs) à l’aise avec les méthodes tra- ditionnelles et qui souhaitent découvrir un cheminement différent et original dans la résolution des problèmes posés. Il intéressera également les ingénieurs concevant des circuits électriques ou électroniques (puissance, communication, radiofréquences, filtrage) et désireux d’acquérir une méthode efficace immédia- tement applicable aux projets en cours. Je serai heureux de uploads/s3/ f-013071.pdf

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