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SECOND DEGRÉ. f est une fonction trinôme du second degré définie sur par f(x)=

SECOND DEGRÉ. f est une fonction trinôme du second degré définie sur par f(x)= ax²+ bx+ c où a, b, c sont des réels avec a non nul. Δ= b²‒4ac est le discriminant du trinôme f(x). a > 0 a < 0 x ‒ õ ‒ b/2a + õ x ‒ õ ‒ b/2a + õ f(x) β f(x) β Δ < 0 L’ équation f(x)= 0 n’ a pas de solution. Signe de f(x) : x ‒ õ + õ f(x) + L’ équation f(x)= 0 n’ a pas de solution. Signe de f(x) : x ‒ õ + õ f(x) − Δ = 0 L’ équation f(x)= 0 a une solutions : x0 = ‒ b 2a . Signe de f(x) : x ‒ õ − b/2a + õ f(x) + + L’ équation f(x)= 0 a une solutions : x0 = ‒ b 2a . Signe de f(x) : x ‒ õ − b/2a + õ f(x) − − Δ > 0 L’ équation f(x)= 0 a deux solutions : x1= - b−Δ 2a et x2= - b+Δ 2a Signe de f(x) : x ‒ õ x1 x2 + õ f(x) + − + x1+ x2= − b a et x1× x2 = c a L’ équation f(x)= 0 a deux solutions : x1= - b−Δ 2a et x2= - b+Δ 2a Signe de f(x) : x ‒ õ x1 x2 + õ f(x) − + − x1+ x2= − b a et x1× x2 = c a -1 -2 -3 -1 -2 -3 0 1 1 x y 2 3 4 -1 -2 -3 -4 2 3 -1 -2 0 1 1 x y 2 3 2 3 0 1 1 x y 2 -1 -1 -2 0 1 1 x y -1 2 0 1 1 x y -1 -2 -1 0 1 1 x y x0 x0 x1 x1 x2 x2 FONCTIONS. Une fonction f est croissante sur un intervalle I si, pour tous réels a et b de I tels que aÂ b, f(a)Â f(b). Une fonction f est décroissante sur un intervalle I si, pour tous réels a et b de I tels que aÂ b, f(a)Ã f(b). Nombre dérivé : Soit f une fonction et a un réel de son ensemble de définition. Dire que la fonction f est dérivable en a signifie que lorsque h tend vers 0, le taux d’ accroissement f(a+ h)− f(a) h tend vers un nombre L. Cette limite s’appelle le nombre dérivé de f en a et se note f ′ (a) : f ′ (a)= lim h↔ 0 f(a+ h)− f(a) h Formules de dérivation : u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I. f définie par f(x)= f dérivable sur fonction dérivée : f′(x)= k, k (fonction constante) 0 x 1 mx+ p (fonction affine) m x +* 1 2 x xn, n ϵ . nxn− 1 1 x * − 1 x² ex ex eax+ b où a et b sont des réels aeax+ b u + v I u′+ v′ uv I u′ v+ uv′ ku où k est un réel I ku′ 1 u I si u ne s’ annule pas sur I − u′ u² u v I si v ne s’ annule pas sur I u′ v− uv′ v² La tangente à la courbe de f au point d’ abscisse a a pour équation y= f ′ (a)(x− a)+ f(a). f′ (a) est le coefficient directeur de la tangente au point d’ abscisse a. Fonctions paires et impaires : Soit f une fonction définie sur un ensemble D. f est paire si pour tout x de D, −x appartient à D et f(−x)= f(x). f est impaire si pour tout x de D, −x appartient à D et f(−x)=− f(x). Méthodes à connaître : Pour déterminer la position relative des courbes de deux fonctions f et g : ➢ on calcule f(x)− g(x) et on l’ écrit sous forme de produit ou de quotient d’ expressions de la forme ax+ b ou ax²+ bx+ c (factorisation, mise au même dénominateur). ➢ on construit le tableau de signes de f(x)− g(x) ➢ on conclut avec les positions relatives des deux courbes : si f(x)− g(x)> 0 sur un intervalle I : la courbe de f est au-dessus de celle de g sur I. si f(x)− g(x)< 0 sur un intervalle I : la courbe de f est en dessous de celle de g sur I. Pour déterminer le sens de variation d’ une fonction f sur son ensemble de définition : ➢ on cherche l’ ensemble de définition de f (en cherchant les valeurs interdites) ➢ on détermine f ′ (x) où f ′ est la fonction dérive de f. ➢ on écrit f ′ (x) sous forme de produit ou de quotient d’ expressions de la forme ax+ b ou ax²+ bx+ c ou e…. (factorisation, mise au même dénominateur). ➢ on construit le tableau de signes de f ′ (x). ➢ on complète la dernière ligne du tableau avec les variations de f : si f ′ (x)> 0 sur un intervalle I, f est strictement croissante sur I. si f ′ (x)< 0 sur un intervalle I, f est strictement décroissante sur I. ➢ on calcule les extremas locaux (images des nombres de la première ligne du tableau) FONCTION EXPONENTIELLE C’ est la seule fonction définie et dérivable sur telle que f′= f et f(0)= 1. On pose exp(1)= e On peut noter ex pour exp(x) (se lit "exponentielle x") e0= 1 et pour tout réel x; ex> 0. Pour tous réels a et b et pour tout entier n : ea + b= ea× eb e− a=  ea ea − b= ea eb (ea)n= ena Tableau de variation et courbe de la fonction exponentielle : Soit f la fonction définie sur par f(x)= ex, f est dérivable sur . Pour tout x de , f′ (x)= ex> 0 x − õ 0 + õ -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 f ’(x) + + f(x) 1 ea= eb ñ a= b ea> eb ñ a> b ea> 1 ñ a> 0 GÉNÉRALITÉS SUR LES SUITES Une suite peut être définie de façon explicite par un= f(n) (on a directement un en fonction de n) ou par récurrence par la donnée d’ un terme et par un+ 1= f( ) un (on calcule un terme en utilisant le précédent). Calcul de termes (par exemple calcul de u4) : Suite définie de façon explicite par un= f(n) : on remplace n par 4 pour calculer u4. Suite définie par récurrence par u0 et un+ 1= f( ) un : on calcule successivement u1 ; u2 ; u3 et u4 en remplaçant un par le dernier terme trouvé. Etude des variations d’ une suite : Méthode 1 : on étudie le signe de un+ 1− un : si pour tout entier n, un+ 1− unÃ 0, alors la suite u est croissante si pour tout entier n, un+ 1− unÂ 0, alors la suite u est décroissante Méthode 2 : on utilise la fonction f définie sur [0 ; + õ [ telle que un= f(n) : si f est croissante sur [0 ; + õ [, alors la suite u est croissante. si f est décroissante sur [0 ; + õ [, alors la suite u est décroissante. SUITES ARITHMÉTIQUES Une suite ( ) un est arithmétique s’ il existe un réel r tel que, pour tout n de , un+ 1= un+ r : on passe d’ un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre r appelé la raison de la suite. Calcul d’ un terme : Pour tous entiers naturels n et p : un= u0+ nr et un= up+ (n− p)r. Sommes de termes : Pour tous entiers naturels n et p u0+ u1+ ...+ un= (n+ 1)( ) u0+ un 2 up+ up+ 1+ ...+ un= (nombre de termes) × premier terme+ dernier terme 2 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+ 1) 2 . Sens de variation : Si r > 0, la suite est croissante Si r < 0, la suite est décroissante Pour montrer qu’ une suite est arithmétique : Pour démontrer qu’ une suite est arithmétique, on montre que un+ 1− un est une constante (indépendante de n). SUITES GÉOMÉTRIQUES Une suite ( ) un est géométrique s’ il existe un réel q tel que, pour tout n de , un+ 1= qun : on passe d’ un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre q appelé la raison de la suite. Calcul d’ un terme : Pour tous entiers naturels n et p : un= u0 × qn et un= up × qn− p. Sommes de termes : pour tous entiers naturels n et p : u0+ u1+ ...+ un= uploads/s3/ a-retenir-de-l-x27-annee-de-1ere-spe-maths.pdf