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Eléments finis / L3 MK ________________________________________________________

Eléments finis / L3 MK ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ l3_el_fini_examen_2010-2.doc - 1 - Laurent BAILLET / LGIT / UFR Mécanique / UJF Grenoble Examen écrit d’éléments finis - mars 2010 – Durée 1h30 Avertissements et conseils • La présentation, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation de la copie. • Lisez attentivement le sujet avant de commencer et gérez votre temps ! • Aucune copie ou feuille ne sera prise en compte dès que l’examinateur aura quitté la salle d’examens. On se propose de résoudre le problème du treillis plan constitué de deux barres (figure 1.). Une charge x y F F X F Y = + est appliquée au nœud 2. Les nœuds 1 et 3 ont leurs déplacements bloqués suivant X et Y. Le nœud 2 est libre de se déplacer les deux directions. Les déplacements au nœud i dans le repère global sont notés ( )1 3 i i i u v ≤≤. La barre b2 a pour longueur L. Les sections des barres b1 et b2 sont égales respectivement à 2 2S et S. Les barres b1 et b2 ont comme vecteurs des inconnues nodales { } 1 1 1 2 2 T g q u v u v = , { } 2 2 2 3 3 T g q u v u v = . 1. Donner les expressions de 1 g K , 2 g K matrices de rigidité élémentaires des barres b1 et b2 dans le repère global. 2. Le vecteur des inconnues nodales est { } 1 1 2 2 3 3 T q u v u v u v = . Montrer que la matrice de rigidité globale K de la structure libre a pour expression 1 2 3 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 . 1 K A sym α α α − −     −     =   −         , où A, 1 3 ( ) i i α ≤≤ sont des constantes que vous exprimerez. 3. Les équations d’équilibre du treillis s’écrivent Kq f = avec { } T 1X 1Y 2X 2Y 3 X 3Y f f f f f f f = . Donner l’expression des six composantes du vecteur des chargements f. Eléments finis / L3 MK ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ l3_el_fini_examen_2010-2.doc - 2 - Laurent BAILLET / LGIT / UFR Mécanique / UJF Grenoble Figure 1. Treillis constitué de deux barres. 4. Après l’introduction des conditions aux limites, montrer que le système d’équations à résoudre pour exprimer l’équilibre du treillis se met sous la forme 2 2 1 1 1 2 X Y u F A v F −       =       −      . 5. Calculer 2 2 1 1 3 3 , , , , , X Y X Y u v f f f f en fonction de , , X Y A F F . 6. Application numérique. Les barres du treillis ont les caractéristiques suivantes : E=210000MPa. La longueur L est égale à 1 mètre et la section S est égale à 2 78cm . La force appliquée est égale à 10 10 F X Y = − − en Newton. Calculer numériquement 2 2 , u v . En déduire les valeurs numériques des forces de liaisons 1 1 3 3 , , , X Y X Y f f f f . X 45° F 1 3 2 Y b1 b2 L L Eléments finis / L3 MK ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ l3_el_fini_examen_2010-2.doc - 3 - Laurent BAILLET / LGIT / UFR Mécanique / UJF Grenoble ____________________ CORRECTION _____________________ 1. On a démontré que la matrice de rigidité élémentaire d’un barre e inclinée d’un angle θ par rapport à l’axe X avait comme expression g e M M K M M −   =   −   où 2 2 cos cos sin cos sin sin e ES M L θ θ θ θ θ θ     =        . Les matrices de rigidité élémentaires des barres b1 ([12] θ=-45°) et b2 ([23] θ=90°) ont comme expression dans le repère global 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 . 1 2 . 1 . 1 g ES ES ES K L L L sym sym sym − − − − − −             − − −       = = =       − − −             et { } 1 1 1 2 2 T g q u v u v = , 2 0 0 0 0 1 0 1 0 0 . 1 g ES K L sym     −   =       et { } 2 2 2 3 3 T g q u v u v = . 2. Le vecteur des inconnues nodales est { } 1 1 2 2 3 3 T q u v u v u v = . La matrice de rigidité globale K de la structure libre a pour expression 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 . 1 K A sym − −     −     − =   + −         avec ES A L = . 3. Le vecteur des chargements a pour expression { } 1 1 3 3 X Y X Y X Y f f f F F f f = . 4. A partir de 1 1 1 1 2 2 3 3 3 3 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 2 0 1 0 0 . 1 X Y X Y X Y u f v f u F Kq f A v F u f v f sym − −             −             −     = ⇔ =      −                         , Eléments finis / L3 MK ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ l3_el_fini_examen_2010-2.doc - 4 - Laurent BAILLET / LGIT / UFR Mécanique / UJF Grenoble et sachant que 1 1 3 3 0 u v u v = = = = on obtient 2 2 1 1 1 2 X Y u F A v F −       =       −      , 5. La résolution du système donne 2 2 2 , X Y Y X F F F F u v A A + + = = . On en déduit 1 2 2 1 2 2 3 3 2 ( ), ( ), 0, . X Y X Y f A u v f A u v f f Av = − + = − = = − 6. Application numérique. En prenant L=1m=1000mm, S= 7854mm2, FX=-10N, FY=-10N, A=1649340N/mm, on obtient : 2 2 1.82 5 , 1.21 5 u e mm v e mm = − − = − − et 1 1 3 3 10 , 10 , 0, 20 . X Y X Y f N f N f f N = − = = = uploads/s3/ l3-el-fini-examen-2010.pdf