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Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 1 Chapitre 2.1 – Les vecteurs Le

Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 1 Chapitre 2.1 – Les vecteurs Le vecteur Le vecteur représente un module (grandeur) avec une orientation. On utilise la flèche pour le représenter graphiquement. Pour identifier une variable comme étant vectorielle, il suffit de mettre une « petite flèche » au-dessus de la variable : Pointe de la flèche : Orientation Longueur de la flèche: Module (Grandeur) Addition graphique d’un vecteur Un vecteur supporte l’opération de l’addition. Graphiquement, il suffit de mettre bout à bout les flèches : car : Soustraction graphique d’un vecteur La soustraction est l’action d’inverser le sens d’un vecteur. Ainsi, la flèche point dans l’autre sens : car : Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 2 Représentation mathématique d’un vecteur Puisqu’un vecteur représente une grandeur physique avec une orientation, on peut représenter mathématiquement un vecteur à l’aide d’un couple longueur et angle :    , A A   où A  : Le vecteur. A : Le module du vecteur (la longueur). : Angle que fait le vecteur par rapport à un système d’axe. Exemples :     30 , 5 B       45 , 12 C  La deuxième représentation mathématique d’un vecteur peut se faire à l’aide d’un couple longueur et longueur utilisant la définition de l’addition :   y x y x A A A A A       , où A  : Le vecteur. x A : Longueur du vecteur projetée sur l’axe x. x A : Longueur du vecteur projetée sur l’axe y. x A  : Vecteur parallèle à l’axe x. y A  : Vecteur parallèle à l’axe y. On peut faire le lien entre les deux représentations grâce aux relations trigonométriques suivantes :   cos A Ax    sin A Ay  2 2 y x A A A   Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 3 Vecteur unitaire Le vecteur unitaire est un vecteur de longueur 1 ayant une direction particulière. Certains sont alignés sur un axe du système de coordonnée. D’autres sont alignés dans une direction reliée à un concept physique. On utilise le « chapeau » ( ex : n ˆ ) pour représenter un vecteur unitaire : i ou x ˆ : Vecteur unitaire aligné sur l’axe x. j ou y ˆ : Vecteur unitaire aligné sur l’axe y. k  ou z ˆ : Vecteur unitaire aligné sur l’axe z. Exemple vecteur unitaire pas aligné sur l’axe : v ˆ : Orientation de la vitesse Module d’un vecteur Le module d’un vecteur représente sa longueur (grandeur). On peut l’évaluer à l’aide du théorème de pythagore : En deux dimensions :     A A A A A A A y x y x      2 2 , ,  où A  : Le vecteur étudié. et   cos A Ax  A  , A : La norme de A  .   sin A Ay  2 2 y x A A  : Théorème de pythagore en 2D 2 2 y x A A A   En trois dimensions :     A A A A A A A A A z y x z y x       2 2 2 , , , ,    où 2 2 2 z y x A A A   : Théorème de pythagore en 3D. Norme d’un vecteur unitaire : 1 ˆ 1 1 1     n k j i    Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 4 Représentation d’un vecteur en vecteur unitaire À l’aide de la définition de l’addition graphique d’un vecteur, on peut décomposer un vecteur quelconque en vecteur unitaire de la façon suivante :   k A j A i A A A A A z y x z y x         , , Exemple :   j i A    3 5 3 , 5    Addition algébrique d’un vecteur Pour additionner des vecteurs algébriquement, il faut les représenter en vecteurs unitaires. Ainsi, tout comme l’addition graphique, on peut additionner les composantes x ensemble, les composantes y ensemble et les composantes z ensemble :        N i i i i B A B A 1 ˆ   où N : Nombre de dimensions au vecteur. (en : en 3D, N = 3) i : Une dimension particulière du vecteur ( ex : x, y) i ˆ : Vecteur unitaire aligné sur l’axe i ( ex : i et x, y ˆ et y) Exemple en 2D :       j B A i B A j B i B j A i A B A y y x x y x y x                  Multiplication d’un vecteur par un scalaire Puisque la multiplication est une répétition d’additions semblables, on peut définir la multiplication d’un vecteur par un scalaire de la façon suivante :    N i i i A A 1 ˆ    où : Multiplicateur scalaire au vecteur (    ) Exemple en 2D :   j A i A j A i A Α y x y x              Exemple en 3D :   k A j A i A k A j A i A Α z y x z y x                   Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 5 Exercices Exercice A : Vecteurs graphiques et algébriques. Soit les deux vecteurs :     30 , 4 A  et      60 , 7 B  a) Dessinez les deux vecteurs avec l’échelle suivante 1 cm = 1 unité. b) Dessinez l’opération B A C      . c) Dessinez l’opération B A C      . d) Exprimez mathématiquement les vecteurs A  et B  à l’aide des vecteurs unitaire i et j . e) Exprimez mathématiquement l’opération B A C      . f) Exprimez mathématiquement l’opération B A C      . Exercice B : Vecteurs dans un plan cartésien. Pour positionner des objets dans un plan cartésien, on peut utiliser la notation vectorielle. Il est alors très important de connaître l’origine (0,0) du plan cartésien. Considérons l’objet A à la coordonnée (4,5) et un l’objet B à la coordonnée (7,2) : a) Dessinez les deux vecteurs A  et B  partant de l’origine permettant de positionner l’objet A et B par rapport à l’origine. b) Évaluez mathématiquement les vecteurs A  et B  à l’aide des vecteurs i et j . Ceci représente le déplacement nécessaire en i et j pour passer de la coordonnée (0,0) à la coordonnée de l’objet A et B. c) Dessinez le vecteur C  représentant le déplacement nécessaire pour passer de l’objet A à l’objet B. d) Évaluez mathématiquement le vecteur C  à l’aide des vecteurs i et j . e) Trouvez une opération mathématique qui permet de construire le vecteur C  à partir des vecteur A  et B  . (Exemple : B A C      , B A C      , B A C     2 ) Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 6 Solutions Exercice A : Vecteurs graphiques et algébriques. a) P.S. ces dessins ne sont pas à l’échelle, mais l’idée est bien représentée. b) c) d)     j i j i A      2 46 , 3 30 sin 4 30 cos 4 ) 30 , 4 (             j i j i B      06 , 6 5 , 3 30 sin 4 60 cos 7 ) 60 , 7 (           e)        j i j i j i j i B A C            06 , 4 96 , 6 06 , 6 2 5 , 3 46 , 3 06 , 6 5 , 3 2 46 , 3             f)     uploads/s3/ mat-chap-2-1.pdf