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fiche n° 35 SYSTEMES D’EQUATIONS LINEAIRES Système de n équations linéaires à p

fiche n° 35 SYSTEMES D’EQUATIONS LINEAIRES Système de n équations linéaires à p inconnues Une solution du système est un élément de qui vérifie toutes les équations. Système homogène Le système est homogène si . Il admet au moins une solution . Système de Cramer C’est un système carré qui admet une unique solution. Systèmes équivalents Deux systèmes sont équivalents s’ils ont le même ensemble de solutions. Opérations élémentaires sur les lignes • Echange de deux lignes : . • Ajout d’une autre ligne : . • Multiplication d’une ligne par un réel : . Elles transforment un système en un système équivalent. Il en est de même pour toute transformation de la forme : à condition que . Matrice complétée du système C’est la matrice des coefficients : .      = + + = + + n p p n n p p b x a x a b x a x a ... ...... .......... .......... .......... ... 1 1 1 1 1 1 1 ts. coefficien les sont les et Les inconnues. les sont ,..., Les 1 i j i p b a x x ) ,..., ( 1 p x x p 0 = ∀ i b i (0,...,0) ) ( p n = j i L L ↔ j i i L L L + ← 0 ≠ α i i L L α ← i i j L L L ←α + β 0 ≠ α 11 1 1 1 p n n p n a a b A a a b     =       L M O M M L fiche n° 35 (suite) Méthode du pivot de Gauss Objectif : A l’aide d’opérations élémentaires, transformer le système en un système triangulaire équivalent simple à résoudre. Etape 1 : on choisit une ligne de référence que l’on met dans (coefficient de non nul et le plus simple possible), puis on transforme toutes les lignes sauf par (avec ) pour annuler le coefficient de dans . Etapes suivantes : Ensuite, on ne change plus , et on recommence le même procédé avec l’inconnue sur le système formé par , … et ainsi de suite jusqu’à ce que l’on ait épuisé les lignes ou les inconnues. Si, au cours de ces transformations, on trouve une équation de la forme : • Si , le système n’a pas de solution. Le processus s’arrête. • Si , on continue le processus en supprimant la ligne. Ensemble des solutions On se place dans le cas où l’on n’a pas trouvé . Si le système final est triangulaire, les termes de la diagonale étant non nuls (pivots), le système est un système de Cramer et on obtient la solution par substitution depuis la dernière ligne jusqu’à la première. On peut aussi effectuer des transformations symétriques sur la matrice complétée pour obtenir une matrice de la forme : . Si le système final comporte moins d’équations que d’inconnues, on considère certaines inconnues comme « paramètres », et on exprime les autres en fonction de celles-là. Le système a alors une infinité de solutions. 1 L 1 x 1 L 1 L L L i i β + α ← 0 ≠ α 1 x i L 1 L 2 x n L L ,..., 2 b x x p = + + 0 ... 0 1 0 ≠ b 0 = b S = ∅ 1 1 0 ' 0 1 'n b b           L M O M M L Résumé du cours de mathématiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lycée Albert Schweitzer, Le Raincy 44 fiche n° 36 ESPACES VECTORIELS Définition Un ensemble E est un espace vectoriel sur ou s’il est muni d’une addition interne et d’une multiplication externe (à opérateurs dans K) qui vérifient : • . • . • Il existe un unique élément (neutre) de E tel que : • Pour tout vecteur u de E, il existe un unique vecteur de E noté tel que : • . • . • . • . Propriété : dans un espace vectoriel Exemples fondamentaux , ) , ( K D A (applications de D dans K), K = U (suites numériques), (polynômes), (degré ), ) ( , K p n M et ) (K n M (matrices). Sous-espaces vectoriels Une partie d’un espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel de E si et seulemenr si : • . • Tout sous-espace vectoriel est un espace vectoriel. Tout sous-espace vectoriel contient le vecteur nul . Une intersection de sous-espaces vectoriels de E est un sous-espace vectoriel de E (donc non vide). C’est faux pour une réunion. K = K = ( , ) E E E u v u v × → + a ( , ) K E E u u × → α α a u v v u E v u + = + ∈ ∀ 2 ) , ( ) ( ) ( ) , , ( 3 w v u w v u E w v u + + = + + ∈ ∀ E 0 u u u E u E E = + = + ∈ ∀ 0 0 u − E u u u u 0 ) ( ) ( = + − = − + u u E u = ∈ ∀ 1 2 ( , ) ( ) K u v E u v u v ∀α ∈ ∀ ∈ α + = α + α 2 ( , ) ( ) K u E u u u ∀α β ∈ ∀∈ α + β = α + β 2 ( , ) ( ) ( ) K u E u u ∀α β ∈ ∀∈ α β = αβ E E u u 0 ou 0 0 = = α ⇔ = α n K [ ] K X [ ] n K X n ≤ F ≠ F 2 ( , ) K u v F u v F ∀α ∈ ∀ ∈ α + ∈ E 0 fiche n° 36 (suite) Somme de deux sous-espaces vectoriels La somme de deux sous-espaces vectoriels de E est un sous-espace vectoriel de E. La somme est directe (notée ) si . F et G sont supplémentaires si : tout vecteur de E se décompose de manière unique en avec et . Sous-espace vectoriel engendré Le sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs , …, est l’ensemble des combinaisons linéaires de ces vecteurs : . Famille génératrice Une famille ( , …, ) de vecteurs appartenant à un sous-espace vectoriel F est génératrice de F si , c’est-à-dire si tout vecteur de F est combinaison linéaire de , …, . Toute famille qui contient une famille génératrice est génératrice. Si l’un des vecteurs d’une famille génératrice est combinaison linéaire des autres, la famille privée de ce vecteur est génératrice. Famille libre Une famille ( , …, ) de vecteurs de E est libre si : . Une famille est libre ssi . Une famille ( , ) est libre ssi et ne sont pas colinéaires. Toute famille contenue dans une famille libre est libre. La famille est libre ssi tout vecteur de s’écrit de manière unique comme combinaison linéaire de , …, . Famille liée Une famille ( , …, ) de vecteurs de E est liée si elle n’est pas libre, donc si : . La famille est liée si et seulement si l’un des vecteurs est combinaison linéaire des autres. Toute famille qui contient une famille liée (par ex. ) est liée. { } G v F u v u G F ∈ ∈ + = + et / G F ⊕ { } E G F 0 = ∩ E G F = ⊕ v u + F u ∈ G v ∈ 1 u n u 1 1 1 Vect ,..., ( ,..., ) n n n n k k k u u u K u u = ∈ < >⇔∃α α ∈ = α ∑ 1 u n u F u u n >= < ,..., Vect 1 1 u n u 1 u n u 1 1 1 1 ( ,..., ) ... 0 ... 0 n n n n E n K u u ∀α α ∈ α + + α = ⇔α = = α = 1 ( ) u 1 0E u ≠ 1 u 2 u 1 u 2 u > < n u u ,..., Vect 1 1 u n u 1 u n u E n n n u u 0 ... ) 0 ,..., 0 ( ) ,..., ( 1 1 1 = α + + α ≠ α α ∃ E 0 Résumé du cours de mathématiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lycée Albert Schweitzer, Le Raincy 45 fiche n° 36 (suite) Base Une famille ( , …, uploads/s3/ math-s4.pdf