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DOCUMENT DU PROFESSEUR Nom et Prénom(s) :……………………………………………..…… Etablissement :…

DOCUMENT DU PROFESSEUR Nom et Prénom(s) :……………………………………………..…… Etablissement :…………………………………………………… p p n n A n! C p! p!(n p)!      uv u v uv      x a f(x) f(a) lim x a    0 u 0 u 1 u 1 u 2 u 2 u O J I (D) ()   cos a b cosacosb sinasinb    2 SOMMAIRE LE VOCABULAIRE DE LA LOGIQUE …………………………………… 2 ANALYSE CHAPITRE I : EQUATIONS ET INEQUATIONS ……………………….. 4 CHAPITRE II : FONCTIONS…………………………………………….. 11 CHAPITRE III : LIMITES, CONTINUITE ET EXTENSION DE LA NATIONS DE LIMITE………. 18 CHAPITRE IV : DERIVATION……………………………………………. 28 CHAPITRE V : REPRESENTATIONS GRAPHIQUES DE FONCTIONS……. 36 CHAPITRE VI : ETUDE DE FONCTIONS………………………………… 43 ALGEBRE CHAPITRE VII: DENOMBREMENT…………………………………….. 45 CHAPITRE VIII : TRIGONOMETRIE……………………………………. 54 CHAPITRE IX : SUITES NUMERIQUES…………………………………66 CHAPITRE X : BARYCENTRE ………………………………………….. 74 CHAPITRE XI : SYSTEMES LINEAIRES 3 ¡ …………………………….81 CHAPITRE XII : TRANSFORMATIONS DU PLAN ……………………..84 3 LE VOCABULAIRE DE LA LOGIQUE Ce chapitre vise à donner à l’élève un raisonnement cohérent et logique. Il est conçu pour qu’on s’y reporte tout au long de l’année scolaire en cas de besoin. 1. Définition d’une proposition Une proposition est un énoncé (mathématique) qui peut-être vrai ou faux. 2. Implication Soit (P) et (Q) deux propositions a) Vocabulaire et notation Dire que (P) implique (Q) signifie que :  Lorsque (P) est vraie alors (Q) est vraie  Ou encore (Q) est une conséquence de (P) On dit que (P) une condition suffisante pour que (Q) soit vérifiée Pour signifier que (P) implique (Q) on note : (P) (Q)  L’implication peut se traduire par la formulation usuelle suivante : si (P) alors (Q) Exemples : Si je suis vieux alors j’ai été jeune (P)  (Q) Si le triangle ABC est équilatéral alors   mesA mesB mesC (P)  (Q) Remarques Si (Q) n’est pas vérifiée alors (P) ne peut pas être vérifiée (puisque (P) implique (Q)). On dit que (Q) est une condition nécessaire pour que (P) soit vérifiée. Exemple : Si je n’ai pas été jeune alors je ne pas être vieux Il est donc nécessaire d’être jeune pour prétendre devenir vieux b) Implication réciproque La réciproque de l’implication (P) (Q)  est l’implication (Q) (P)  . La réciproque de l’implication (Q) (P)  est l’implication (P) (Q)  . Les implications (P) (Q)  et (Q) (P)  sont des implications réciproques Remarque Une implication peut être vraie et sa réciproque fausse. Exemple : Si x 2  alors 2 x 4  est une implication vraie (P)  (Q) est vraie Sa réciproque s’énonce Si 2 x 4  alors x 2  ; il est facile de voir que cette réciproque est fausse car 2 ( 2) 4   or 2 2  (Q)  (P) est fausse 3. Equivalence (P) et (Q) sont deux propositions. Lorsque les implications réciproques (P) (Q)  et (Q) (P)  sont vraies, on dit que (P) et (Q) sont équivalentes ou que (P) est vérifiée si et seulement si (Q) vérifiée. On note : (P) (Q)  on lit : « (P) est équivalente à (Q) » Remarque 4 Dans ces conditions chacune des propositions est une condition nécessaire et suffisante pour que l’autre soit vérifiée. Exemple ABC est équilatéral mesA mesB mesC   4. Quelques méthodes de démonstrations a) Comment démontrer une égalité ? Pour démontrer une égalité entre nombres, entre vecteurs, …, on dispose au moins de quatre façons : Ecrivons l’égalité à démontrer sous la forme A B  - On transforme l’écriture de A jusqu’à obtenir B - On transforme l’écriture de B jusqu’à obtenir A - On transforme à la fois A et B puis on démontre que A et B sont égaux à C. - On démontre que A B  ou B A  est nulle. b) Notion de contre-exemple Pour montrer qu’une proposition n’est pas « toujours » vraie, il suffit d’exhiber un cas pour lequel elle n’est pas vraie. Un tel cas particulier est appelé un contre-exemple c) Comment démontrer une implication ? Pour démontrer une implication (P) (Q)  : - On procède souvent par implications successives c'est-à-dire par étapes et de conséquence en conséquence. - On peut aussi commencer par remplacer (Q) par une proposition (Q’) qui lui est équivalente, puis on démontre que (P) implique (Q’). d) Comment démontrer une équivalence ? Pour démontrer une équivalence on peut utiliser l’une des méthodes suivantes : - On démontre successivement deux implications (P) (Q)  et (Q) (P)  - On procède par équivalences successives. 5 CHAPITRE I : EQUATIONS – INEQUATIONS I. EQUATIONS ET INEQUATIONS DU SECOND DEGRE 1- Polynômes du second degré 2- Equations du second degré a) Définition b) Somme et produit des solutions d’une équation du second degré 3- Inéquations du second degré a) Définition b) Signe d’un polynôme du second degré II. EQUATIONS ET INEQUATIONS IRRATIONNELLES 1- Equations irrationnelles du type P(x) Q(x) = 2- Inéquations irrationnelles du type P(x) Q(x) £ 6 CHAPITRE I : EQUATIONS – INEQUATIONS I. EQUATIONS ET INEQUATIONS DU SECOND DEGRE 1- Polynômes du second degré Activité 1 Soit P le polynôme du 2nd degré défini par ( ) 2 P x ax bx c = + + aveca 0 ¹ . Vérifier que ( ) 2 2 2 b b 4ac P x a x 2a 4a é ù æ ö - ê ú ÷ ç = + - ÷ ç ê ú ÷ ÷ ç è ø ê ú ë û Le nombre réel 2 b 4ac - est appelé le discriminant du polynôme du second degré P. On le note 2 b 4ac D = - On obtient ainsi : ( ) 2 2 b P x a x 2a 4a é ù æ ö D ê ú ÷ ç = + - ÷ ç ê ú ÷ ÷ ç è ø ê ú ë û Activité 2 1) a) Calculer le discriminant de chacun des polynômes du second degré puis le réécrire si possible sous la forme d’un produit de polynômes de degré 1. ( ) 2 P x x 3x 4 = + - ( ) 2 R x 2x x 1 = - + ( ) 2 Q x x 2x 1 = - + - b) Dans quel cas peut-on écrire le polynôme sous forme de produit de polynômes de 1er degré ? 2) Quel doit être le signe du discriminant  pour qu’un polynôme du second degré puisse s’écrire sous la forme de produit de polynômes de degré 1 ? Remarque  Si 0 ou 0 D > D = alors le polynôme peut s’écrire sous la forme d’un produit de facteurs.  Si 0 D < alors le polynôme ne peut pas s’écrire sous la forme d’un produit de facteurs. Les zéros éventuels d’un polynôme du 2nd degré Activité 3 On considère le polynôme du second degré 2 2 b P(x) a x 2a 4a é ù æ ö D ê ú ÷ ç = + - ÷ ç ê ú ÷ ÷ ç è ø ê ú ë û avec a ≠ 0. 1) Si 0 D > a) Ecrire P(x) sous la forme d’un produit de polynômes de degré inférieurs ou égaux à 1. b) Déterminer les zéros de P(x). 2) Si 0 D = a) Donner l’expression de P(x). b) Déterminer le(s) zéro(s) de P(x). 3) Si 0 D < , peut-on trouver des zéros pour P(x) ? Retenons On considère le polynôme du second degré 2 P(x) ax bx c = + + , avec a ≠ 0, de discriminant 2 b 4ac D = - .  Si 0 D > , P(x) admet deux zéros distincts b 2a - - D et b 2a - + D On les nommera 1 2 x et x pour faire une distinction. Ainsi ( ) ( )( ) 1 2 P x a x x x x = - - 7  Si 0 D = , P(x) admet un zéro double 0 b x 2a - = . Dans ce cas ( ) ( ) 2 0 P x a x x = -  Si 0 D < , P(x) n'admet pas de zéro. Exercice d'application Déterminer dans chacun des cas ci-dessous les zéros éventuels du polynôme et le réécrire si possible sous forme d'un produit de polynôme de 1er degré. ( ) 2 P x 3x 15x 12 = - + ; ( ) 2 K x x 2 2x 4 = - + - ; ( ) 2 S x x 2x 1 = - + 2- Equations du second Degré a) Définition On appelle équation du 2nd degré, toute équation de la forme 2 ax bx c 0 + + = avec a ≠ 0 Le polynôme ( ) 2 P x ax bx c = + + est le polynôme du uploads/s3/ mathematiques-1ere-d 1 .pdf