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1 X1 X2 Xn 0 t1 t2 tn-1 tn T Processus de Poisson D’après « Construction d’un m

1 X1 X2 Xn 0 t1 t2 tn-1 tn T Processus de Poisson D’après « Construction d’un modèle de Poisson » de Michel Henry Dans Autour de la modélisation en probabilités, Presses Universitaires Franc-Comtoises, 2001 Rappel des programmes de BTS « La loi de Poisson est introduite comme correspondant au nombre de réalisations observées, durant un intervalle de temps de longueur donnée, lorsque le temps d'attente entre deux réalisations est fourni par une loi exponentielle ». Problème de vacances : Par une belle nuit d’été, on observe en moyenne 12 étoiles filantes par heure. Quelle est la probabilité d’en voir trois dans le prochain quart d’heure ? Hypothèses de travail Considérons l’événement A : « observer une étoile filante ». A partir d’un instant initial t0 = 0, on peut observer à tout instant la manifestation d’un événement A. On suppose que cet événement est instantané. L’ensemble de ces observations constitue une suite croissante d’instants successifs. On s’intéresse au nombre d’évènements A produits dans une durée d’observation [0 ; T]. On suppose que : o il n’y a pas de moments où une étoile apparaît plus souvent que d’autres (on suppose donc que la fréquence d’arrivée des étoiles filantes ne dépend pas de l’instant du début de l’observation) ; o les étoiles filantes ne sont pas très fréquentes ; o l’instant où l’on observe l’une d’entre elles ne dépend pas des arrivées précédentes. Nous sommes en présence d’un phénomène homogène dans le temps, rare et sans mémoire. Cette situation est caractérisée par un paramètre qui peut être évalué : on peut observer que, dans des conditions analogues, A se produit en moyenne c fois dans un intervalle de temps unité (cadence du phénomène). Modèle probabiliste On considère comme ensemble des issues possibles, l’ensemble continu Ω de tous les instants où A peut théoriquement se produire à partir d’un instant initial d’observation ( Ω = ]0 ; + ∞[ ). Ces hypothèses se traduisent mathématiquement de la façon suivante : o la probabilité d’observer A dans l’intervalle [ti ; ti+1] ne dépend que de la durée ti+1 – ti (phénomène homogène dans le temps) ; o la probabilité qu’il se produise deux (ou plus) évènements A à la fois (c’est-à-dire dans un petit intervalle de temps Δt) est négligeable devant la probabilité d’en observer un seul dans ce même intervalle de temps (phénomène rare). De plus cette probabilité tend vers 0 avec Δt. Ainsi, la probabilité que A se produise à un instant déterminé a priori est considérée comme nulle ; o les évènements : « A se produit entre les instants ti et ti+1 » sont indépendants (phénomène sans mémoire). Des deux premières hypothèses, on va pouvoir supposer que la probabilité d’observer A dans un petit intervalle de temps Δt est proportionnelle à la longueur de cet intervalle, le coefficient de proportionnalité étant λ. Schéma Poissonnien On désigne par : • t1 , t2 , …, tn , … les instants aléatoires où l’on observe les étoiles filantes. • X1 , X2 , …, Xn , … les durées aléatoires égales à t1 – 0, t2 – t1 , … , tn – tn-1, … ; ainsi les Xi désignent les temps séparant deux observations successives de A. • N le nombre d’étoiles filantes observées entre les instants 0 et T. Ce schéma décrit un processus de Poisson homogène. 2 Lois des variables aléatoires • Dans ce modèle, Xi représente la durée qui sépare l’instant ti–1 de l’observation de la prochaine étoile filante. Comme on a supposé que le phénomène est homogène dans le temps, les variables X1 , X2 , …, Xn suivent la même loi. De plus les Xi concernent des intervalles de temps disjoints au cours desquels les arrivées éventuelles de A sont supposées indépendantes : les variables X1 , X2 , …, Xn sont donc indépendantes. La loi commune des Xi est la loi exponentielle1 de paramètre λ. Leur densité de probabilité est donc : € fX i (t) = λe−λt pour t ≥ 0. On a : € E Xi ( ) = 1 λ (c’est le temps moyen d’attente de A) € Var Xi ( ) = 1 λ2 . • La variable N suit la loi de Poisson2 de paramètre λT. On a : € E N ( ) = λT (c’est le nombre moyen d’évènements A qui se produisent dans une durée T) € Var N ( ) = λT . Remarque : Il y a c évènements A par unité de temps, donc € c = E(N) T = λ. Par conséquent, λ représente la cadence c du phénomène (nombre moyen d’étoiles filantes par unité de temps). Réponse à la question posée On veut calculer la probabilité d’observer 3 étoiles filantes en un quart d’heure. Prenons pour unité de temps une heure. Les données statistiques indiquent une moyenne de 12 étoiles filantes à l’heure ; on a donc pour un quart d’heure : € λT =12× 1 4 = 3 Et : € P(N = 3) = 33 3! e−3 ≈0,224 1 La démonstration est dans l’article cité en introduction, à savoir « Construction d’un modèle de Poisson » de Michel Henry dans Autour de la modélisation en probabilités, Presses Universitaires Franc-Comtoises, 2001, p 228. 2 La démonstration est dans le même article, p 230. 3 Autre exemple : la désintégration radioactive Pour étudier le comportement d’un élément radioactif, un capteur enregistre les instants successifs où l’un des atomes se désintègre, ceci afin de déterminer la « période » (ou « demi-vie ») de l’élément radioactif considéré, c’est-à-dire la durée au bout de laquelle le nombre d'atomes de l’élément a diminué de moitié. Si on considère l’événement A : « un atome se désintègre », on observe expérimentalement que A est rare, homogène dans le temps et sans mémoire. On est donc en présence d’un processus de Poisson. 1. A chaque atome radioactif, on associe le temps d’attente de sa désintégration (donc égal à sa durée de vie). On note X cette variable aléatoire. X suit la loi exponentielle de paramètre λ (λ : taux de désintégration de l’élément radioactif correspondant à la cadence du phénomène). a) Au bout de la période T, la proportion des atomes désintégrés est € 1 2 . On admet que cette fréquence est égale à la probabilité pour un atome d’être désintégré. Montrer que la période T est égale à € ln2 λ . b) Calculer le taux de désintégration de l'iode 131 sachant que sa période est de 8,06 jours et celui du radium pour lequel la période est de 1580 années. c) Lors d’une expérience, on étudie une quantité d’uranium 238 et on observe une cadence de λ ≈ 12 désintégrations par seconde. Calculer la période de l’uranium 238. 2. On note N le nombre de désintégrations entre les instants 0 et τ pour un échantillon de matière radioactive contenant n atomes. N suit la loi de Poisson d’espérance € E(N) = λ × n × τ. a) Calculer le nombre moyen journalier de désintégrations avec 1010 atomes d’iode 131. En déduire le nombre moyen de désintégrations par seconde. b) Déterminer la probabilité qu’il n’y ait aucune désintégration pendant une seconde avec 1010 atomes de radium. c) Quelle est la probabilité qu’il y ait 3 ou 4 désintégrations pendant une nanoseconde avec 108 atomes d’uranium 238 ? 3. Datation par la méthode du carbone 14. Le carbone 14 est produit régulièrement en haute atmosphère lors de réactions nucléaires induites par des protons rapides d’origine galactique. Il est en proportion à peu près constante dans les environnements terrestres : la proportion est d’un noyau de carbone 14 pour 7,7×1011 noyaux de carbone 12. Lorsqu’un individu ou une plante meurt, son métabolisme cesse de fonctionner, son carbone n’est plus renouvelé et le carbone 14 qu’il contient se désintègre en redonnant un noyau d’azote 14 avec une demi-vie de 5730 ans. Il suffit alors de mesurer la proportion du carbone 14 dans les restes (os, cheveux, bois …) pour connaître l’époque de la mort. Dans 1g de carbone naturel, il y a 5×1022 noyaux parmi lesquels environ 6,5×1010 de carbone 14. Calculer le nombre moyen de désintégration par siècle du carbone 14. Correction 1.a) X suit la loi exponentielle de paramètre λ : € P(X ≤T) =1−e−λT = 1 2 ⇒ T = −ln1 2 λ = ln2 λ b) si T = 8,06 jours, λ = € ln2 8,06 ≈ 0,086 désintégrations par jour. si T =1580 années, λ = € ln2 1580 ≈ 0,0004 désintégrations par an. c) si λ ≈ 12, € T =146×1015secondes, soit 4,6×109années. 2. N suit P (µ) avec € µ = λ × n × τ. a) E(N) = € 0,086×1010 par jour, soit € 0,086×1010 24 × 3600 ≈9954 par seconde. b) P(N = 0) = € e −0,0004×1010 365×24×3600 = e−0,127 ≈0,88. c) N suit P (µ) avec € µ = 12×108 109 =1,2. P(3 ≤ N ≤ 4) = P(N = 3) + P(N = 4) uploads/s3/ loi-de-poisson.pdf