Mathématiques exercices incontournables BCPST 1re année V. ROUSSE, N. BLANC Mat

Mathématiques exercices incontournables BCPST 1re année V. ROUSSE, N. BLANC Mathématiques exercices incontournables © Dunod, 2014 5 rue Laromiguière, 75005 Paris www.dunod.com ISBN 978-2-10-071227-4 Conception et création de couverture : Atelier 3+ Table des matières Outils de bases 1 Calcul algébrique 7 2 Nombres complexes et trigonométrie 27 3 Dénombrement 45 Algèbre 4 Systèmes linéaires 65 5 Matrices 75 6 Polynômes 103 7 Géométrie 123 8 Espaces vectoriels et applications linéaires 141 Analyse 9 Nombres réels et suites réelles 175 10 Limites et continuité des fonctions d’une variable 195 11 Dérivation des fonctions d’une variable réelle 209 12 Développements limités et études de fonctions 227 13 Intégration des fonctions sur un segment 249 14 Équations différentielles 271 ii Table des matières 15 Fonctions de deux variables 291 Probabilités 16 Statistique descriptive 305 17 Espaces probabilisés 317 18 Variables aléatoires finies 333 19 Couples et n-uplets de variables aléatoires finies 363 Avant-propos Cet ouvrage s’adresse aux étudiants de première année B.C.P.S.T. de classes prépa- ratoires scientifiques. Il leur propose de mettre en pratique les notions abordées en cours de mathématiques et d’algorithmique par le biais d’exercices. Chacun est suivi d’une correction détaillée et commentée dans laquelle l’accent est mis sur la méthode qui mène à la solution. Le livre est divisé en quatre parties et dix-neuf chapitres, consacrés chacun à une partie du programme avec respect de la séparation en deux semestres. Au sein d’un même chapitre, les exercices ont été choisis de façon à passer en revue toutes les capacités attendues autour des notions à connaître. Ces capacités sont listées à la fin de chaque chapitre avec un renvoi explicite aux questions et exercices dans lesquels elles sont utilisées. Les principales formules sont également rappelées au sein de chaque capacité. En ce qui concerne les corrections, nous avons choisi de séparer clairement : • la réflexion préliminaire, comprenant analyse du problème et tâtonnements au brouillon (nous nous sommes en particulier autorisés une plus grande liberté dans la façon de formuler les idées et le sens profond de certaines notions parfois au mépris d’une certaine rigueur mathématique mais toujours dans un souci pédago- gique), • de la rédaction finale, rigoureuse et précise. Cette dernière étape est signalée dans le texte par la présence d’un liseré gris sur la gauche et d’un . Insistons sur le fait que nous ne prétendons nullement présenter l’unique cheminement permettant d’aboutir à la solution d’un exercice donné, ni la seule rédaction acceptable. Par ailleurs, nous avons souhaité mettre en exergue les idées réutilisables en les rédi- geant sur un fond grisé et indiqué par un . De même, la présence d’une difficulté courante est signalée par un . L’index présent en fin d’ouvrage fournit des renvois aux principales notions aussi bien vers la liste de capacités du chapitre dont elles dépendent que vers leurs utilisations explicites dans d’autres chapitres. Enfin, comme l’usage le veut l’expression “si et seulement si” sera parfois abrégée en “ssi”. Partie 1 Outils de bases Outils de bases 1 Calcul algébrique 7 Semestre 1 1.1 : Techniques de sommation de base 7 1.2 : Séparation pairs/impairs 12 1.3 : La somme des premiers cubes I 13 1.4 : Sommes télescopiques 16 1.5 : Formule du binôme et moments de la loi binomiale 18 1.6 : La formule de Vandermonde I 21 Liste des capacités attendues 24 2 Nombres complexes et trigonométrie 27 Semestre 1 2.1 : Autour de la formule d’Al-Kashi 27 2.2 : Identité de Lagrange et inégalité de Cauchy-Schwarz 29 2.3 : Complexes de module 1 30 2.4 : Équations sur C 31 2.5 : Racines 5-ièmes et constructibilité du pentagone 33 2.6 : Système d’équations sur C 35 2.7 : Équations trigonométriques I 36 2.8 : Équations trigonométriques II 38 2.9 : Linéarisation et applications 41 Liste des capacités attendues 43 3 Dénombrement 45 Semestre 1 3.1 : Q.C.M. et structure de données 45 3.2 : Combinaisons avec répétitions 46 3.3 : Autour de la formule du crible 49 3.4 : Formules de Vandermonde et du binôme de Newton 52 3.5 : Tirages avec et sans remise 54 3.6 : Comment vider une urne ? 58 Liste des capacités attendues 60 1 CHAPITRE Calcul algébrique On rappelle le vocabulaire élémentaire associé aux sommes n X k=m uk et aux produits n Y k=m uk d’un nombre fini de termes : • k est l’indice de la somme ou du produit, • m et n sont les bornes respectivement inférieure et supérieure de la somme ou du produit, • uk est le terme général de la somme ou du produit. 1. Soit (un) une suite arithmétique de raison r (r ̸= 0) et de premier terme u0. Calculer n X k=m uk. 2. Soit (un) une suite géométrique de raison q (q ̸= 1) et de premier terme u0. Calculer n X k=m uk et n Y k=m uk. 3. Montrer que, pour tout n ∈N∗, n Y k=1 (2k −1) = (2n)! 2nn! . Écrire une fonction Python d’entête def produit_impairs(n) qui calcule le produit des n premiers entiers naturels impairs. 4. Calculer X 1⩽i,j⩽n |i −j| et X 1⩽i⩽j⩽n j i  . Exercice 1.1 : Techniques de sommation de base 1. Il y a plusieurs façons naturelles de procéder : • la suite est arithmétique donc son terme général s’écrit uk = u0 + kr et on est ainsi ramené à une somme d’entiers consécutifs ; 8 Chapitre 1 Calcul algébrique n X k=m uk = n X k=m (u0 + kr) = u0 n X k=m 1 + r n X k=m k = u0(n −m + 1) + r " n X k=1 k − m−1 X k=1 k # = (n −m + 1)u0 + r  n(n + 1) 2 −(m −1)m 2  = (n −m + 1)u0 + n2 + n −m2 + m 2 r = (n −m + 1)u0 + (n + m)(n −m + 1) 2 r. • on peut alternativement utiliser l’expression uk = um + (k −m)r pour se ramener directement à la somme des premiers entiers ; n X k=m [um + (k −m)r] = um n X k=m 1 + r n X k=m (k −m) = um(n −m + 1) + r n−m X k′=0 k′ (avec le changement d’indice k′ = k −m) = (n −m + 1)um + r (n −m)(n −m + 1) 2 = (n −m + 1)(u0 + mr) + r (n −m)(n −m + 1) 2 = (n −m + 1)u0 + r (n + m)(n −m + 1) 2 . • on peut encore utiliser la démarche du jeune Gauss ∗en ajoutant la somme incon- nue à elle-même mais en ordonnant les termes dans l’autre sens 1 + 2 + · · · + k + · · · + n −1 + n n + n −1 + · · · + n + 1 −k + · · · + 2 + 1 (n + 1) + (n + 1) + · · · + (n + 1) + · · · + (n + 1) + (n + 1) ce qui lui a permis d’obtenir rapidement que 2 100 X k=1 k = 100 × (100 + 1). Avec les changements d’indice k′ = k −m et k′′ = n −k, on a n X k=m uk + n X k=m uk = n−m X k′=0 um+k′ + n−m X k′′=0 un−k′′ = n−m X k=0 (um+k + un−k). ∗. Carl Friedrich Gauss (1777-1865), le Prince des mathématiciens, a ouvert la voie à de nombreux domaines des mathématiques. Il racontait lui-même cette anecdote pour construire sa légende. Exercice 1.1 Techniques de sommation de base 9 On remarque alors que um+k +un−k = um +kr+un −kr = um +un est indépendant de k, d’où n X k=m uk = (n −m + 1)um + un 2 = (n −m + 1)u0 + mr + u0 + nr 2 = (n −m + 1)u0 + r (n −m + 1)(m + n) 2 . 2. Pour la somme des termes consécutifs d’une suite géométrique, il y a encore plu- sieurs façons naturelles de procéder : • la suite est géométrique donc son terme général s’écrit uk = u0qk et on est ainsi ramené à la somme connue n X k=0 qk = 1 −qn+1 1 −q ; n X k=m uk = n X k=m umqk−m = um n X k=m qk−m = um n−m X k′=0 qk′ (avec le changement d’indice k′ = k −m) = um 1 −qn−m+1 1 −q = u0qm 1 −qn−m+1 1 −q . • on peut aussi reprendre l’idée de Gauss et voir comment la relation uk+1 = quk permet d’obtenir une équation algébrique du premier degré d’inconnue la somme cherchée. q n X k=m uk = n X k=m uk+1 = n+1 X k′=m+1 uk′ = n X k=m uk + un+1 −um, d’où n X k=m uk = um −un+1 1 −q = um −qun 1 −q uploads/s3/ mathematiques-exercices-incontournable.pdf

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