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Lycée TAHER ELHADED Devoir de Contrôle Nº01 Durée : 2 heurs Prof : Jemai Année

Lycée TAHER ELHADED Devoir de Contrôle Nº01 Durée : 2 heurs Prof : Jemai Année Scolaire : 2009/2010 Niveau : 4émeMath Exercice N°1 : (4 points) Une seule des réponses suivantes exacte la quelle ? 1) A, B et C sont des points distincts d’affixes respectives a, b et c tq : b – a = 2i(c-a) alors : a/ ABC est un triangle isocèle en A. b/     AC AB  c/     AC AB // 2) On considère les nombres complexes 3 1 i z   et i z 2 2 '   et ' ' ' z z z  alors la forme exponentielle du ' ' z est : a/ 12 2 1  i e ; b/ 12 7 2 1  i e ; c/ 12 2 1  i e  3) Soit         2 sin 2 cos 2 sin    i z avec   0 ,     alors : a/ 2 sin 2   z ; b/    2 2 arg  z ; c/ 2 sin    z 4) La forme exponentielle de   3 1 i   est : a/ 3 4 2  i e ; b/ 3 2  i e ; c/ 3 2 2  i e Exercice N°2 : (6 points) Soit     , 0  ; on considère l’équation (E) :      0 1 2 2       i e i z i e i z io io 1)a) Vérifie que   i i 2 1 2    b) Résoudre alors dans C l’équation (E). 2) Le plan est rapporté à un repère orthonormé (o, u , v ) ; on considère les points 2 1etM M d’affixes respectives i e z io   1 et 1 2   io ie z a) Vérifier que 1 2 iz z  b) Montrer que 2 2 cos 2           i i i e e e ;   et deux réels. c) Donner la forme exponentielle de 1 z puis de 2 z . 3) Montrer que    sin 1 4 2 2 1   M M Exercice N°3 : (4 points) Soit la fonction f définie par                     1 2 1 1 cos 2 x si x x x x f x si x x x x f  1) Calculer lim f(x)   x 2) Montrer que : pour tout   1 ,    x ona :  1 1 1     x f x x et en déduire lim f(x)   x 3) Montrer que f est continue sur IR. 4)a/ Montrer que l’équation f(x) = 0 admet au mois une solution dans       0 , 2 1 b/ En déduire que   2 1 sin      Exercice N°4 : (6 points) Soit n U la suite définie par           n n n U U U U 1 1 1 0 Et f la fonction définie par   x x x f   1 1) On suppose que   0 , 1 0   U a/ Montrer que pour tout IN n  : 0 1    n U b/ Montrer que n U est croissante. c/ Montrer que n U est convergente et calculer sa limite. 2) On suppose 0 0  U a/ Etudier la monotonie de la suite n U b/ Montrer que 0 1 1 U U U n n    c/ Trouver lim n U   n 3) Montrer que  IR x ;  2 2 x x x f x    4) Soit          n k n n k f S 1 2 Montrer que    3 6 1 2 1 2 1 2 1 n n n n n S n n n        et en déduire lim n S   x Indication : Pour : IN n    2 1 1     n n k n k et    6 1 2 1 1 2      n n n k n k Bon Travail uploads/s3/ lyc-e-taher-elhaded2.pdf