SESSION 2020 PSI1M ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI ____________________ MATHÉM

SESSION 2020 PSI1M ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI ____________________ MATHÉMATIQUES Lundi 4 mai : 8 h - 12 h ____________________ N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. RAPPEL DES CONSIGNES  Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d’autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.  Ne pas utiliser de correcteur.  Écrire le mot FIN à la fin de votre composition. __________________________________________________________________________________ Les calculatrices sont interdites Le sujet est composé de deux problèmes indépendants. 1/8 PROBLÈME 1 Autour de la fonction sinus cardinal Objectifs Dans ce problème, on détermine dans la Partie I la valeur de la transformée de Laplace de la fonction sinus cardinal. On utilise ensuite dans la Partie II une variante de la formule de Viète pour exprimer la transformée de Laplace de la Partie I comme limite d’une suite d’intégrales. Partie I - Transformée de Laplace de la fonction sinus cardinal Pour x > 0, on note : F(x) = +∞ 0 sin(t) t e−tx dt, G(x) = +∞ 0 e−tx sin(t) dt et H(x) = +∞ 0 e−tx cos(t) dt. Q1. Montrer que : ∀t ∈R+, | sin(t)| ≤t. Q2. Montrer que les fonctions F, G et H sont bien définies sur ]0, +∞[. Q3. Montrer que lim x→+∞F(x) = 0. Q4. Montrer que F est de classe C1 sur ]0, +∞[ et exprimer F′ à l’aide de la fonction G. Q5. Trouver une expression simple pour G et pour H. On pourra calculer H(x) + iG(x). En déduire, pour α ∈]0, +∞[, la valeur de +∞ 0 e−tx cos(αt) dt. Q6. En déduire une expression simple pour F. Que vaut F(1)? Partie II - Autour de la formule de Viète Q7. Montrer que pour tout t > 0 et pour tout n ∈N∗: n k=1 cos t 2k = sin(t) 2n sin(t/2n). Q8. Montrer que pour tout t > 0 et pour tout n ∈N∗: n k=1 cos t 2k = 1 2n−1 2n−1  k=1 cos 2k −1 2n t  . On pourra raisonner par récurrence et utiliser l’identité : cos(a) cos(b) = 1 2  cos(a + b) + cos(a −b). 2/8 Q9. En déduire que pour tout t > 0 : sin(t) t = lim n→+∞ 1 2n−1 2n−1 k=1 cos 2k −1 2n t . Q10. Montrer que pour tout x > 0 : F(x) = lim n→+∞ 1 2n−1 2n−1 k=1 +∞ 0 cos 2k −1 2n t e−tx dt. On pourra introduire, pour tout n ∈N∗, la fonction fn : ]0, +∞[→R définie par : ∀t ∈]0, +∞[ , fn(t) = 1 2n−1 2n−1 k=1 cos 2k −1 2n t e−tx. Q11. En déduire que : π 4 = lim n→+∞2n+1 2n−1 k=1 1 (2k −1)2 + 22n. L’objet des trois questions suivantes est de redémontrer le résultat précédent de façon plus élémentaire. Q12. Déterminer : lim n→+∞2n+1 2n−1 k=0 1 4k2 + 22n en écrivant cette quantité à l’aide une somme de Riemann. Q13. Soit n ∈N∗. Montrer que pour tout k ∈ 0, 2n−1 :      1 4k2 + 22n − 1 (2k −1)2 + 22n      ≤4 × 2n−1 + 1 1 + 22n × 1 4k2 + 22n. Q14. En déduire que : lim n→+∞2n+1 2n−1 k=0 1 4k2 + 22n − 1 (2k −1)2 + 22n = 0 et retrouver le résultat de la question Q11. 3/8 PROBLÈME 2 Les matrices de Kac Notations - Pour n ∈N∗, Mn(R) désigne l’ensemble des matrices carrées de taille n à coefficients réels et Mn(C) désigne l’ensemble des matrices carrées de taille n à coefficients complexes. - Dans tout ce problème, les vecteurs de Rn seront notés en colonnes. - La lettre i désigne le nombre complexe usuel vérifiant i2 = −1. On s’interdira d’utiliser cette lettre pour tout autre usage! Objectifs Le but de ce problème est d’étudier quelques propriétés spectrales de deux matrices An ∈Mn+1(R) et Bn ∈Mn+1(R) introduites par Mark Kac au milieu du xxe siècle. Ces liens ont été mis en évidence par Alan Edelman et Eric Kostlan au début des années 2 000. Ce problème est divisé en quatre parties largement indépendantes. La Partie I introduit les matrices de Kac en taille 3 et met en évidence les propriétés qui seront démontrées en taille quelconque dans les Parties II et III. La Partie IV est une utilisation probabiliste d’une des deux matrices de Kac. Partie I - La dimension 3 On considère les matrices : A =           0 1 0 2 0 2 0 1 0          et B =           0 −1 0 2 0 −2 0 1 0          . Q15. Déterminer le polynôme caractéristique χA = det(XI3 −A) de A et le décomposer en facteurs irréductibles dans R[X]. Q16. En déduire que la matrice A est diagonalisable sur R. Donner la liste des valeurs propres de A et la dimension des espaces propres correspondants. On ne demande pas de déterminer les espaces propres de A dans cette question. Q17. Déterminer le polynôme caractéristique χB de B et le décomposer en facteurs irréductibles dans R[X], puis dans C[X]. Vérifier que χA(X) = iχB(iX). Q18. La matrice B est-elle diagonalisable sur R? Est-elle diagonalisable sur C? Donner la liste des valeurs propres réelles puis complexes de B et la dimension des espaces propres sur R et C correspondants. On ne demande pas de déterminer les espaces propres de B dans cette question. On considère : D =           1 0 0 0 i 0 0 0 −1          ∈M3(C). Q19. Exprimer D−1AD à l’aide de la matrice B. 4/8 Soit ∆=           1 0 0 0 √ 2 0 0 0 1          ∈M3(R). Q20. Calculer ∆−1A∆. En déduire à nouveau que la matrice A est diagonalisable sur R. Partie II - Étude d’un endomorphisme Objectifs Dans cette partie, on introduit la matrice Bn et on en étudie ses propriétés spectrales à l’aide d’un endomorphisme de dérivation. Soit n ∈N∗un entier naturel fixé. Pour k ∈ 0, n , on note fk : R →C la fonction définie par : ∀x ∈R, fk(x) = cosk(x) sinn−k(x). On note Vn le C-espace vectoriel défini par : Vn = VectC( f0, f1, . . . , fn) =        n  k=0 λk fk | (λ0, . . . , λn) ∈Cn+1       . Q21. Montrer que la famille (f0, . . . , fn) est libre. En déduire la dimension de l’espace vectoriel complexe Vn. Q22. Pour k ∈ 0, n , montrer que f ′ k ∈Vn. En déduire que : ϕn : Vn → Vn f → ϕn(f) = f ′ définit un endomorphisme de Vn et que sa matrice Bn dans la base (f0, f1, . . . , fn) est la matrice : Bn =                                  0 −1 0 · · · · · · 0 n 0 −2 ... . . . 0 n −1 0 −3 ... . . . . . . ... ... ... ... 0 . . . ... 2 0 −n 0 · · · · · · 0 1 0                                  ∈Mn+1(R). Pour k ∈ 0, n , on note gk : R →C la fonction définie par : ∀x ∈R, gk(x) = ei(2k−n)x. Q23. Montrer que : ∀x ∈R, gk(x) = (cos x + i sin x)k(cos x −i sin x)n−k. Q24. En déduire, à l’aide de la formule du binôme de Newton, que : ∀k ∈ 0, n , gk ∈Vn. Q25. Pour k ∈ 0, n , calculer g′ k. En déduire que ϕn est diagonalisable. Donner la liste des valeurs propres complexes de ϕn et décrire les espaces propres correspondants. Q26. Pour quelles valeurs de uploads/s3/ mathematiques-psi1m.pdf

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