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STI ARTS APPLIQUÉS MATHÉMATIQUES Page 1 sur 3 REPÈRE : 10MAAAAG1 B A C C A L A

STI ARTS APPLIQUÉS MATHÉMATIQUES Page 1 sur 3 REPÈRE : 10MAAAAG1 B A C C A L A U R É A T T E C H N O L O G I Q U E S T I A R T S A P P L I Q U É S MATHÉMATIQUES SESSION 2010 DURÉE DE L’ÉPREUVE : 2 heures – COEFFICIENT : 2 La calculatrice est autorisée, conformément à la circulaire n° 99-186 du 16 novembre 1999. Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet. Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu’il est complet. Ce sujet comporte 3 pages numérotées de 1 à 3. Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats. Tournez la page S.V.P. Le candidat doit traiter tous les exercices. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. STI ARTS APPLIQUÉS MATHÉMATIQUES Page 2 sur 3 REPÈRE : 10MAAAAG1 EXERCICE (8 points) Un patron de PME souhaite un logo pour son entreprise. Celui qu’il a choisi est rectangulaire et une ellipse est inscrite dans le rectangle. Le nom de son entreprise sera placé à l’intérieur de l’ellipse. Partie A Coloriage du logo Ce logo délimite trois zones à colorier: Le fond rectangulaire (zone 1), l’intérieur de l’ellipse (zone 2) et le nom de l’entreprise composé de lettres d’une même couleur (zone 3). Pour colorier ces trois zones, on utilise deux ou trois des couleurs suivantes: le jaune, le noir et le rouge. Deux zones voisines doivent être de couleurs différentes : La zone 1 a donc une couleur différente de la zone 2 qui, elle- même, a une couleur différente de la zone 3. 1. Montrer qu’il y a douze façons de colorier le logo. On pourra utiliser un arbre de dénombrement. 2. On choisit un des douze coloriages au hasard. En supposant l'équiprobabilité dans le choix des couleurs, déterminer la probabilité des événements suivants : A : « Le nom de l’entreprise est en rouge » B : « Le fond rectangulaire et le nom de l’entreprise sont de la même couleur » On donnera tous les résultats sous forme de fractions irréductibles. Partie B L’ellipse de sommets A, A’, B et B’ et de foyers F et F’ est inscrite dans le rectangle CDEG. La taille des lettres et leur position sont telles que le nom de l’entreprise « Arts’A » est entièrement contenu dans le losange BFB’F’qui a pour sommets B, B’ et les deux foyers F et F’ de l’ellipse. Dans le plan rapporté à un repère orthonormal d’origine O, l’ellipse a pour équation cartésienne : 2 2 1 169 25 x y + = 1. Déterminer les dimensions du rectangle CDEG ainsi que les coordonnées des foyers F et F’. 2. Calculer l’aire du losange (qui est la partie réservée à l’inscription du nom de l’entreprise) en unités d’aires. On rappelle que l’aire d’un losange dont les diagonales ont pour mesures respectives A et L est égale à 2 L × A . STI ARTS APPLIQUÉS MATHÉMATIQUES Page 3 sur 3 REPÈRE : 10MAAAAG1 PROBLEME (12 points) Sur l'ensemble des 4 rebords rectangulaires d'un couvercle de boîte ayant 60 cm de long, 30 cm de large et 3 cm de haut, on veut peindre une frise continue par juxtaposition d'un même motif. Les parties A et B ont pour objet la construction du motif de cette frise et la partie C porte sur le calcul de l’aire de la frise à peindre. PARTIE A Soit f la fonction définie sur l'intervalle [0 ;1] par : f (x) = 0,5x2 – x + 3. On appelle (C) la courbe représentative de f dans un repère orthogonal d'unités graphiques 5 cm en abscisses et 2 cm en ordonnées. 1. Calculer la dérivée f ’(x). Etudier son signe et donner le tableau des variations de f. 2. Tracer la courbe (C). PARTIE B On désigne par g la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 1] par : g (x) = 4x – 2ex + 5. Soit (Γ) sa représentation graphique dans le repère orthogonal défini à la partie A. 1. a) Calculer g ’ (x) où g ’ est la fonction dérivée de g. b) Résoudre l'équation g ’(x) = 0. c) Étudier le signe de g ’(x) sur l'intervalle [0 ; 1] et en déduire le tableau des variations de g. On donnera la valeur exacte du maximum de g. 2. a) Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous (arrondir au centième). x 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 g (x) b) Tracer (Γ) dans le même repère que (C). PARTIE C 1. On admet que l'aire de la partie P1 du plan limitée par les courbes (C), (Γ) et par les droites d'équations x = 0 et x = 1 est égale à : [ ] 1 0 ( ) ( ) d g x f x x − ∫ (en unités d'aire). Colorier P1 sur le dessin et, en utilisant les parties A et B, donner la valeur exacte de son aire en cm² puis une valeur approchée au mm² près. 2. Dessiner la partie P2 du plan, symétrique de P1 par rapport à la droite d'équation x = 1. Le motif de la frise est la réunion de P1 et P2. Donner une valeur approchée en cm², arrondie à 10 − 1, de l’aire de ce motif. 3. Donner une valeur approchée en cm², arrondie au cm2, de l’aire de la frise à réaliser sur le couvercle de la boîte. uploads/s3/ maths-stiaa.pdf