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NOUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES ABEL TRANSON Loi des séries de Wronski ; sa

NOUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES ABEL TRANSON Loi des séries de Wronski ; sa phoronomie Nouvelles annales de mathématiques 2e série, tome 13 (1874), p. 305-318. <http://www.numdam.org/item?id=NAM_1874_2_13__305_0> © Nouvelles annales de mathématiques, 1874, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Nouvelles annales de mathématiques » implique l’accord avec les condi- tions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal. php). Toute utilisation commerciale ou impression sys- tématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce ﬁchier doit contenir la pré- sente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ ( 3 o 5 ) LOI DES SÉRIES DE WRONSKI; SA PBORONOMIE (*) 5 PAR M. ABEL TRANSON. La démonstration que Wronski a donnée, en i812,de sa loi des séries, dans la troisième Note annexée au Mémoire sur la Réfutation de la théorie des fonctions analytiques, est, comme j'ai déjà [eu l'occasion de le dire (**), extrêmement simple. Mais parce que les pre- miers ouvrages de l'auteur ne se trouvent plus dans le commerce, je crois faire une chose utile en publiant ici cette démonstration. Je donnerai ensuite l'application de la loi au déve- loppement d'une fonction suivant les facultés, et aussi suivant les puissances de la variable indépendante. Je donnerai aussi l'énoncé d'un théorème dont la dé- monstration implique une théorie spéciale des détermi- nants, et qui constitue « le principe fondamental de la déduction algorithmique de la Loi suprême. » Enfin, je ferai voir que Wronski, bien avant que M. Ampère eût produit son idée de la Cinématique, avait établi la nécessité d'une science qu'il appelle phoronomie, ayant pour objet l'étude des lois du mou- vement, abstraction faite des forces qui le produisent. I. L'auteur avait démontré dans sa Philosophie des Mathématiques, publiée en 1811, que la forme générale des séries est la suivante : (*) Phoronomie, science du mouvement. (*•) Nouvelles Annales, 2e série, t. XIII, p. 161. Ann. de Mathémat., 2e série, t. XIII. (Juillet 1874.) 20 ( 3o6 ) dans laquelle le symbole ç (x)m]* représente le produit de m termes, savoir : f (*)•« = y (*) ? (* 4- Ç ) ? (* + « ) . . . . ? [* + (m - i) Ç]. Et il s'agissait, dans la Note de 1812, de donner la for- mule du coefficient général A^. Ici je citerai textuellement l'auteur. « A cet effet, rappelons que la différence régressive d'une fonction f (x) est l'excès de cette fonction sur celle qui la précède dans l'ordre de l'accroissement \ de la variable, savoir : » L'expression d'un ordre quelconque de ces différences, toujours dans l'ordre régressif, est -TV3-— appliquant cette formule à une fonction de la forme J{x)—<f (x)*"% on a (I) D'ailleurs, puisqu'on a en général X étant un nombre quelconque, le facteur ç (x) se trou- ( 3 o 7 ) vera contenu dans la faculté <p(#--i£)w|* lorsque casera plus grand que X, et que d'ailleurs w et X seront des nombres entiers, ainsi que nous le supposerons ici. Donc le même facteur c p (x) sera contenu dans tous les termes de l'expression (i) de la différence A^(f (x)wl% lorsque w sera plus grand que jur, et par conséquent, en donnant à x la valeur qui réduit à zéro le facteur C J > (x), on aura,dans le cas en question, la valeur (2) Wy(x)»K~o. » Or la forme générale des séries est (3) F (x) = A0-+- A, (4) y* Prenant donc des deux membres de cette expression (3) les différences des ordres régressifs 1, 2, 3, 4? • • • •> e t donnant ensuite à x la valeur qui réduit à zéro le fac- teur cj (x), nous aurons, en vertu de l'équation (2), la suite des équations A F(.r} = AtA ?(ar) A 2F » = A, A 2 ? (x) H- A2 A2 < p (JC)21^ 4 F ( . r ) = A, A y * ) 4 - A, A4 ?(.r)21^ -I- A3 A* < p (JC)3^-4- A4 A4 ? (JB)41 La première de ces équations donne immédiatement . _*F(x) » En second lieu, puisqu'en vertu de l'équation (2) on a Y^ = o, les deux premières des équations précé- dentes (4) sont identiques avec celles-ci : A F(.r) zzn Ai A ç p \xj -+- A2 A c p \xy^ ^Y{x)z=zkiÙ^o{x)^ A 2A 2(p(^,* 20. ( 3o8 ) équations qui donnent immédiatement (*) [A'T(x)A'F(:c)] » En troisième lieu, observant qu'en vertu de la valeur générale (2), on a A<j>(.r)2l*:=O, A^.r)3!* — o , A2(p(x)3^ — O , on verra que les trois premières des équations (4) sont identiques avec celles-ci : A F(*) = AtA ? ( i ) + A2A < p ( .r )2'*-(-A3 A ?(^)3|Ç, A* F ( x ) = A, A 3<p (jr) H- A2 A3 ?(a:)2^ -f- A3 équations qui donnent encore immédiatement 3" )) Et procédant de la même manière, on verra, non par induction, mais par le principe même de la formation de ces quantités, qu'on aura en général |x étant un indice quelconque. » De plus, ayant égard à la valeur de x dans cette ex- .(*) Les produits entre crochets, au numérateur et au dénominateur de A,, et plus loin aux numérateurs et dénominateurs de A8, A4,..., A^, sont les termes principaux des déterminants qui donnent les valeurs de ces coefficients. L'auteur donne à ces déterminants le nom de fonctions schinn, d'après la lettre hébraïque qu'il leur attribue pour caractéristique. Je me conforme à la notation actuellement usitée ; mais je constate en passant l'avance que Wronski prenait sur les géomètres contemporains en faisant dès sa première publication (1810-1811) un continuel usage de ces fonctions, devenues depuis un si précieux instrument dans toute l'Algorithmie. ( 3o9 ) pression du coefficient général de A^, et par suite à la valeur (2), on verra que la somme combinatoire (le déterminant) formant le dénominateur de A^ que nous venons de déterminer, se réduit à son premier terme, c'est-à-dire qu'on a [A'fr A 2<p(.r) 2 » Et c'est là l'expression algorithmique de la loi géné- rale des séries. » Avant d'en venir à l'application ci-dessus annoncée, j'appelle l'attention du lecteur sur l'avertissement dont l'auteur fait suivre la démonstration précédente : « . . . Nous devons prévenir que, dans un système de Philosophie des Mathématiques, cette démonstration, quelque rigoureuse et simple qu'elle soit, n'est pas encore suffisante. La loi dont il s'agit, qui est la loi générale des séries, se trouve être un cas particulier de la loi algorithmique absolue, dont la forme est la suivante : F (x) = A o & o -h A, a, -h A 2 £l2 - f - A 3 n3 -f-. . . ; les quantités Qo? ^i* ^25 • • • étant des fonctions quel- conques de la variable, liées ou non par une loi 5... il faut donc, pour démontrer la loi dont il est question, la déduire immédiatement comme cas particulier de la loi absolue que nous venons d'indiquer, et c'est cette déduction qui donnera la démonstration philosophique de la loi générale des séries dont nous parlons. » L'auteur, qui, dans la première section de la Philoso- phie de la technie, a donné en 1815 la démonstration de la loi suprême, en a effectivement déduit comme cas particulier la Loi des séries dans la seconde section du même Ouvrage (1816-1817), ( 3io ) II. Dans le cas de o(x) quelconque, la circonstance de )w|$ = o, toutes les fois qu'on a c o ;> jx, donne lieu#à ce que, dans le déterminant qui est au numérateur de A^, tous les termes au-dessus de la diagonale qui sert à former le terme principal sont nuls, excepté ceux de la dernière colonne, qui sont les différences successive* de F(x), savoir : AF(x),A !F(x),...,A^F(a:),^F(a:). En outre, dans le cas de < p (x) = x, tous les termes de cette diagonale sont des constantes, à l'exception du dernier qui est égal à A[tF(a:). Car on a A ( a r ) = i . Ç ; A 2 * 2 ! * — I . 2 . Ç ' ; A 3 * » . 5 = i . 2 . 3 . Ç 3 ; . . ., et, vu que les termes qui leur sont inférieurs dans chaque colonne sont les différences successives de ces termes con- stants, ces termes inférieurs sont tous nuls 5 ainsi, pour le cas de yx = x, le déterminant qui est au numérateur de Ap se réduit à son terme principal. Au numérateur et au dénominateur il y a donc deux produits d'un égal nombre de facteurs, et ces deux produits ne diffèrent que par le dernier facteur de chacun d'eux. Ainsi l'on a II faut mettre A^F(o), puisque daus le cas général on doit substituer à x dans A^ la valeur particu- lière de x qui donne lieu à < j > (x) ~- o, et ici cette valeur est x — o. Finalement, on uploads/s3/ nam-1874-2-13-305-0.pdf