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NF04 - Automne - UTC 1 Version 09/2006 (E.L.) Cours 3-a Méthode des éléments fi

NF04 - Automne - UTC 1 Version 09/2006 (E.L.) Cours 3-a Méthode des éléments finis 1D • Notion d’affaiblissement : formes forte et faible • Approximation par éléments finis • Traitement des conditions aux limites • Résolution NF04 - Automne - UTC 2 Version 09/2006 (E.L.) Étude comparative : différences finies et éléments finis Différences finies (rappels) •Équation d’équilibre + C. aux L. •Obtention de l’équation discrète •Formules « toutes faites » •Idem pour les C. aux L. •Construction du système •Générer le maillage du domaine •Nœuds équidistants •Résolution du système •Post-traitement Éléments finis = Forme FORTE •Obtention forme faible intégrale •Maillage •Nœuds •Éléments (connectivité) •Discrétisation de la forme intégrale sur chaque élément (matrice et vecteur élémentaires) = Assemblage NF04 - Automne - UTC 3 Version 09/2006 (E.L.) Formes forte et faible Particularité de la méthode des éléments finis (MEF) : Discrétiser, non pas la relation d’équilibre, mais une forme « affaiblie » de cette équation. affaiblir pour réduire certaines contraintes mathématiques (discontinuités …) empêchant l'utilisation d'outils classiques pour sa résolution. Motivation : Vocabulaire : cette forme est appelée sous des noms divers: Forme faible Forme intégrale Forme variationnelle … la solution d’une forme faible correspond à une solution approchée ou « faible » en termes de continuité. Conséquence : NF04 - Automne - UTC 5 Version 09/2006 (E.L.) Technique d’affaiblissement par la Méthode des résidus pondérés Reprenons l’exemple de thermique 1D régi par :    2 2 0, 0, cstt d T x k f x L dx     ( 0) 30 T x       ( ) ext dT q L k L h T L T dx    Définition : nous appelons résidu (noté Res), l’expression mathématique de la forme forte du problème étudié. Soit, dans notre cas : Ce résidu s’annule quand T(x) est solution.   2 2 Re d T x s T k f dx   NF04 - Automne - UTC 6 Version 09/2006 (E.L.) Méthode des résidus pondérés 1. Pondération du résidu par une fonction-test 2. Intégration sur le domaine 3. Intégration par parties 4. Introduction des conditions aux limites Méthode générale : NF04 - Automne - UTC 7 Version 09/2006 (E.L.) Application : équation de la chaleur en 1D 1. Pondération du résidu par une fonction-test :      2 2 0, 0, , x x d T x k f x L dx               fonction - test résidu 2. Intégration sur le domaine      2 0 2 0, 0, , L d T x W x k f x L x dx dx                 NF04 - Automne - UTC 8 Version 09/2006 (E.L.)         0 0 0 0 0, , L L L d x dT x dT x x k dx x k dx W x f dx x L dx dx x                    3. Intégration par parties : Avantages : 1. Réduction de l’ordre maximum des dérivées présentes 2. Introduction « naturelle » des conditions aux limites Rappels : intégrations par parties en 1D           0 0 0 2 2 0 0 0 L L L L L L dT x d x x dx T x dx x T x dx dx d T x d x dT x dT x x dx dx x dx dx dx dx                       NF04 - Automne - UTC 9 Version 09/2006 (E.L.) Technique d’affaiblissement par la Méthode des résidus pondérés  0 0 dT k dx            0 0 0 0 0, , 0 L L L ext h T L T d x dT x W x k dx x f dx dx dT dT L k dx k d x x dx L x                          0 0 0 0 dT k q dx     4. Introduction des conditions aux limites : Traitement de : 1. Introduction du flux inconnu en x=0 : 2. Élimination en choisissant :  0 0   Deux possibilités : NF04 - Automne - UTC 10 Version 09/2006 (E.L.)         0 0 int 0 0 0 L L ext CL W W d x dT x W x k dx x f dx L h T L T q dx dx                , x T x  Discrétisation par éléments finis L’intégration requiert une approximation des variables : et de leurs dérivées : , d dT dx dx  •Maillage avec un seul élément fini à deux noeuds : •Forme faible (ou intégrale) : NF04 - Automne - UTC 11 Version 09/2006 (E.L.) Approximation par éléments finis (Galerkin)  Définition : une approximation au sens des éléments finis d’une variable T(x) sur un élément à deux nœuds, s’écrit :    1 1 2 2 T x N x T N x T    Vocabulaire : sont appelées fonctions d’approximation ou fonctions de forme (fonctions polynomiales)   1 2 , N x N x Propriétés : les fonctions de formes vérifient la relation générale :   1 0 i j i j N x i j        si si Application : pour un élément fini à deux noeuds     1 2 1 2 0 1 0 0 0 1 N N N L N L               et Utile pour les calculer NF04 - Automne - UTC 12 Version 09/2006 (E.L.) Calcul des fonctions Ni : élément à deux noeuds 1. Choisir l’ordre d’approximation : deux nœuds ordre 1 2. Construction des deux systèmes d’équations 3. Résolution :   1 1 1 2 2 2 , N x a x b N x a x b         1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 0 0 1 0 0 0 , 0 1 N a b N a b N L a L b N L a L b                             1 2 1 , x x N x N x L L   NF04 - Automne - UTC 13 Version 09/2006 (E.L.) Approximation de la fonction-test Plusieurs formulations sont possibles : 1. Collocation par points ou par sous domaines 2. Moindres carrés 3. Galerkin Hors programme NF04 Méthode des éléments finis La fonction-test est approximée avec les mêmes Ni que T(x) NF04 - Automne - UTC 14 Version 09/2006 (E.L.) Discrétisation de la forme intégrale  Réécriture des approximations sous la forme :  La fonction-test est approximée de la même manière :  Les dérivées se calculent selon :      1 1 1 2 2 1 2 2 T T x N x T N x T N x N x T              Vecteur ligne Vecteur colonne      1 1 1 2 2 1 2 2 x N x N x N x N x                       1 1 1 2 1 2 2 2 , T dN x dN x dN x dN x dT d dx dx dx dx dx dx T                          Vocabulaire : si la variable inconnue et la fonction-test utilisent les mêmes fonctions Ni, l’approximation est alors dite de type GALERKIN. NF04 - Automne - UTC 15 Version 09/2006 (E.L.) Discrétisation de la forme intégrale  Rappel :  Introduction des approximations dans la forme intégrale : 0 1 1 1 int 1 2 1 2 1 2 2 2 2 0 0 ' ' ' ' L N T N W k N N dx f dx N T N      uploads/s3/ nf04-cours3-a-pdf.pdf