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CHAPITRE 2 Notions de base 2.1 INTRODUCTION Le présent chapitre présente sommai

CHAPITRE 2 Notions de base 2.1 INTRODUCTION Le présent chapitre présente sommairement les lois et les notions de base d’hydraulique que l’ingénieur ou le technicien doit connaître. Il présente la loi de de la continuité, les lois et éléments liés à l’énergie des écoulements et le concept de quantité de mouvement. 2.2 LOI DE LA CONTINUITÉ La première loi qui décrit un écoulement est la loi de la continuité : [2.1] V = Q A V = vitesse moyenne de l’eau (L/T) Q = débit (L3 /T) A = section d’écoulement (L2 ) 2.3 L’ÉNERGIE 2.3.1 Loi de conservation de l’énergie L’énergie par unité de poids en un point peut être décrite en terme de hauteur de colonne d’eau : E = Énergie potentielle + Énergie de pression + Energie cinétique [2.2] 12 NOTIONS DE BASE E = z + y + α [2.3] V 2 2g α = coefficient de répartition des vitesses (1.0 -- 1.3) * g = constante d’accélération gravitationnelle (L/T2) En accord avec la loi de la conservation de l’énergie, l’énergie totale d’un point aval est égale à l’énergie totale d’un point amont plus les pertes d’énergie par friction que cause l’écoulement (Figure 2.1) et permet d’écrire la loi de la conservation de l’énergie : z1 + y1 + α1 [2.4] V 2 1 2 g = z2 + y2 + α2 V 2 2 2 g + hf hf = perte d’énergie en terme de hauteur de colonne d’eau** Figure 2.1 Répartition de l’énergie dans un écoulement à surface libre. NIVEAU DE RÉFÉRENCE V1 2 2 g V2 2 2 g y1 y2 z1 z2 hf 1 S0 La ligne décrivant l’énergie totale en tout point est la ligne d’énergie (Figure 2.1) et la variation de cette ligne correspond à la perte d’énergie absorbée par l’écoulement. Lorsque les coefficients de répartition de vitesse ”α1“ et ”α2“ égalent l’unité et que les pertes de charge “hf” sont nulles, nous retrouvons l’équation de Bernouilli. Dans le cas d’un écoulement uniforme où la section d’écoulement est constante, la ligne d’énergie, la surface d’écoulement et la ligne de fond du canal sont parallèles. Dans un tel cas, la pente du canal “S” ou “So”, le gradient hydraulique “Sw” et le gradient d’énergie sont égaux : S = Sw = [2.5] hf L * Égale à l’unité lorsque les pentes sont faibles (cas général). ** Aussi connu sous le nom de ”perte de charge”. L’ÉNERGIE 13 Édition 2015 2.3.2 Énergie spécifique L’énergie spécifique est définie comme l’énergie par rapport à la ligne de fond du canal ou cours d’eau. En considérant l’équation [1.7] où z = 0, l’énergie spécifique s’écrit : [2.6] Es = y + α V 2 2 g Es = y + α [2.7] Q2 2 g A2 = y + α Q2 2 g A(y) 2 L’équation [2.7] montre que pour une section et un débit donnés, l’énergie spécifique est uniquement fonction de la profondeur d’écoulement (la section étant fonction de la forme et de la profondeur d’écoulement). Lorsque nous traçons la courbe d’énergie spécifique pour un débit donné et un type de section donnée (Figure 2.2), nous remarquons qu’il existe deux profondeurs d’écoulement pour un même niveau d’énergie, sauf lorsque le niveau d’énergie est minimum. Le ressaut (Figure 2.3) est le cas le plus familier qui démontre l’existence de deux profondeurs d’écoulement pour un même niveau d’énergie spécifique. Figure 2.2 Courbes d’énergie spécifique. Lorsque le niveau d’énergie est minimum, nous sommes en présence de la profondeur critique d’écoulement “yc“. Cette dernière est obtenue lorsque la première dérivée de l’équation [2.7] par rapport à la profondeur d’écoulement devient nulle : [2.8] dEs dy = 1 − α Q2 g A3 dA dy = 0 14 NOTIONS DE BASE Figure 2.3 Le ressaut. Comme dA/dy = t et D = A/t, l’équation [2.8] peut être réécrite : [2.9] dEs dy = 1 − α Q2 g A2 t A = 1 − α V2 g D = 0 et la profondeur critique est obtenue et correspond lorsque le nombre de Froude (Fr ) égale l’unité : [2.10] α V2 2 g = D 2 [2.11] Q A g D α = V g Dα = 1 = Fr Fr = nombre de Froude Pour un canal rectangulaire “A = by”, l’équation [2.11] s’écrit : [2.12] Q b yc g ycα = 1 [2.13] Q b g α = yc 32 [2.14] yc = α Q2 b 2g 13 L’énergie spécifique minimale correspondant à la profondeur critique peut aussi être obtenue : [2.15] Es = yc + α V 2 2 g = yc + D 2 = yc + yc 2 = 3 2 yc L’ÉNERGIE 15 Édition 2015 [2.16] yc = 2 3 Es Z = facteur de profondeur critique d’écoulement = F(yc) Dans les canaux non rectangulaires, la profondeur critique peut être déterminée par itérations ou essais et erreurs en utilisant les équations [2.8], [2.11] et [2.10]. Les débits et les dimensions des canaux doivent être connus. Des équations empiriques ont aussi été développées pour quelques sections typiques. Pour un canal trapézoïdal (French, 1999) : [2.17] yc 0, 81 α Q2 2 g z0,75 b 1,25 0,27 − b 30 z Pour un canal triangulaire (French, 1999) : [2.18] yc 2 α Q2 g z2 1,20 Pour une conduite circulaire (French, 1999) : [2.19] yc 1, 01 d 0,26 α Q2 g 0,25 d = diamètre de la conduite (L) La figure 2.6 présente une abaque permettant de calculer la profondeur critique des écoulements dans les canaux trapézoïdaux. À une profondeur critique d’écoulement correspond une vitesse critique d’écoulement (Vc) et une pente critique d’écoulement (Sc). La vitesse critique se calcule facilement à l’aide de l’équation [2.1] lorsque la profondeur critique d’écoulement est connue et la pente critique s’évalue par l’un des modèles décrivant l’écoulement uniforme (chapitre 3). 2.3.3 Régime d’écoulement La notion de profondeur critique d’écoulement permet de classifier les différents régimes d’écoulement uniforme (Figure 2.4). Régime critique d’écoulement : lorsque la profondeur d’écoulement égale la profondeur critique d’écoulement, ou que la pente du canal (ou cours d’eau) égale la pente critique de l’écoulement. Régime fluvial (subcritique) : Lorsque la profondeur d’écoulement est plus grande que la profondeur critique, ou que la pente du cours d’eau est plus faible que la pente critique de l’écoulement. 16 NOTIONS DE BASE Régime torrentiel (supercritique) : lorsque la profondeur d’écoulement est plus faible que la profondeur critique, ou que la pente du cours d’eau est plus grande que la pente critique de l’écoulement. Figure 2.4 Régimes d’écoulement. ÉCOULEMENT FLUVIAL ÉCOULEMENT CRITIQUE ÉCOULEMENT TORRENTIEL QUANTITÉ DE MOUVEMENT 17 Édition 2015 2.4 QUANTITÉ DE MOUVEMENT Nous venons de voir que dans tout phénomène hydraulique, l’énergie est conservée et il en est de même pour la quantité de mouvement en accord avec la seconde loi de Newton. La variation de quantité de mouvement par unité de temps d’une masse d’eau coulant dans un canal est égale à la résultante des forces extérieures agissant sur cette masse. En appliquant ce principe à une masse d’eau coulant sur une pente (Figure 2.5) nous obtenons l’équation de base suivante : Q [2.20] w g β2V2 − β1V1 = P1 − P2 + W sin θ − Ff w = poids spécifique de l’eau ß = coefficient de la quantité de mouvement en fonction de la répartition des vitesse (1.01 -- 1.12) P1 et P2 = forces de pression W = poids de la masse d’eau Ff = force externe de friction Figure 2.5 Application du principe de conservation de la quantité de mouvement. L’utilité de cette équation est de pouvoir évaluer la hauteur en aval de l’écoulement d’un ressaut (Figure 2.3). La difficulté avec l’équation d’énergie [2.4] réside dans le fait qu’il est difficile d’évaluer la perte d’énergie par friction interne alors que l’équation de la quantité de mouvement ne requiert que la connaissance des forces externes. 18 NOTIONS DE BASE PROFONDEUR CRITIQUE D’ÉCOULEMENT 0,01 0,10 1,00 10,00 100,00 1000,00 0,10 1,00 10,00 ycb b y 1 z z = 12 z = 6 z = 4 z = 3 z = 2 z = 1,5 z = 1 Q α g b 2,5 Figure 2.6 Courbes de la profondeur critique d’écoulement (canal trapézoïdal). BIBLIOGRAPHIE 19 Édition 2015 BIBLIOGRAPHIE Anonyme, 1954. Handbook of Channel Design for Soil and Water Conservation. United State Department of Agriculture, Soil Conservation Service. SCS--TP--61. Chow, Ven Te, 1959. Open--Channel Hydraulics. McGraw--Hill, Toronto. French, R. H. 1999. Hydraulics of Open Channel Flow. Dans : Mays, L. W. (éd.). 1999. Hydraulic Design Handbook. Mc Graw Hill, New York. Schwab, G.O., R.K. Frevert, T.W. Edminster et K.K. Barnes, 1966. Soil and Water Conservation Engineering. John Wiley and Sons, New York. Simon, A.L., 1976. Practical Hydraulics. John Wiley and Sons, Toronto. 20 NOTIONS DE BASE PROBLÈMES SÉRIE 2. 2.1. Déterminez la profondeur critique d’écoulement lorsqu’un débit de 1 m3 /s coule dans un canal rectangulaire ayant une largeur de 2 m. 2.2. Déterminez la profondeur critique d’écoulement lorsqu’un débit de 1 m3 /s uploads/s3/ notionde-base 1 .pdf