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Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B Page 1 Note de cours rédigée par

Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B Page 1 Note de cours rédigée par : Simon Vézina Chapitre 2.5 – Les relations générales entre le potentiel et le champ électrique Force conservative Une force est dite conservative lorsque le travail effectué par cette force est indépendant du chemin emprunté par le déplacement. Ceci à pour conséquence d’établir un lien en le travail effectué par la force et une variation d’énergie potentielle : U Wc ∆ − = ou f i c U U W − = où c W : Travail de la force conservative c F v (J) U ∆ : Variation de l’énergie potentielle associée à la force conservative c F v (J) i U : Énergie potentielle associée à la configuration initiale du système (J) f U : Énergie potentielle associée à la configuration finale du système (J) Force conservative Force gravitationnelle : g m Fg v v = Énergie potentielle gravitationnelle : • mgy U g = (Champ constant) • r mM G U g − = (Masse ponctuelle) Force électrique : r r qQ k F ˆ 2 e = v Énergie potentielle électrique : • r qQ k U = e (Charge ponctuelle) f f g mgy U = m m g v i i g mgy U = s v g g U W ∆ − = ( ) m y 0 i y f y i i r qQ k U = e f f r qQ k U = e 0 i r f r ( ) m r e e U W ∆ − = Q q q s v Force non conservative Force de frottement : v n Fc ˆ µ − = v (force sens contraire de la vitesse) ** Pas de terme d’énergie potentielle ** 1 s v 2 s v m m 1 c f v 2 c f v 4 c f v 3 s v 4 s v 4 3 2 1 W W W W + + ≠ 3 c f v n v g mv Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B Page 2 Note de cours rédigée par : Simon Vézina Une force conservative qui effectue un travail sur un parcours fermé (qui revient à son point de départ) est toujours nul : 0 d = ⋅ = ∫ s F W c c v v (travail nul pour une force conservative sur un parcours fermé) 1 s v 3 s v 4 s v 5 s v 2 s v 0 5 1 = ∑ = i i s v (exemple d’un parcours fermé) Différence de potentiel électrique et champ électrique Une différence de potentiel électrique V ∆ est la conséquence d’effectuer un déplacement s v dans un champ électrique E v . C’est uniquement un déplacement parallèle au champ électrique qui fait varier le potentiel électrique1. Un déplacement dans le sens du champ électrique fait chuter le potentiel électrique et un déplacement dans le sens contraire du champ électrique fait augmenter le potentiel électrique : ( ) θ cos Es s E V − = ⋅ − = ∆ v v ∫ ⋅ − = ∆ s E V v v d (Champ E v constant) (Champ E v non constant) où V ∆ : Différence de potentiel électrique associé au champ E v (V) E v : Champ électrique (N/C) s v : Déplacement dans le champ E v en Pi et Pf (m) s v d : Petit élément de déplacement dans le champ E v (m) θ : Angle entre le champ électrique E v et le déplacement s v Preuve : À partir de la définition du travail, de la force électrique et de la relation énergie et potentiel, évaluons la variation du potentiel électrique associée à un déplacement dans un champ électrique : ∫ ⋅ = s F W v v d ⇒ ∫ ⋅ = s E q W v v d (Définition force électrique : E q F v v = ) ⇒ ∫ ⋅ = ∆ − s E q U v v d (Travail conservatif : U Wc ∆ − = ) ⇒ ∫ ⋅ − = ∆ s E q U v v d (Sortir la constante q de l’intégrale) ⇒ ∫ ⋅ − = ∆ s E q V q v v d (Relation énergie-potentiel : V q U ∆ = ∆ ) ⇒ ∫ ⋅ − = ∆ s E V v v d ■ (Simplifier la charge q) 1 Rappel du produit scalaire entre deux vecteurs A v et B v : y y x x B A B A B A B A + = = ⋅ θ cos v v v v s v E v Pf Pi i f V V V − = ∆ f V i V Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B Page 3 Note de cours rédigée par : Simon Vézina Situation A : Déplacement près de deux PPIUC, partie 1. Un bloc se déplace de la coordonnée (x = 1 m, y = 3 m) à la coordonnée (x = 4 m, y = 5 m) près de deux PPIUC avec une trajectoire est inconnue. La première PPIUC est parallèle à l’axe y et située en x = 6 m et possède une densité de charge surfacique 2 1 µC/m 2 = σ . La seconde PPIUC est parallèle à l’axe x et situé en y = 1 m et possède une densité de charge surfacique 2 2 µC/m 5 = σ . On désire évaluer la variation du potentiel électrique associée au déplacement du bloc. Voici la représentation de la situation : Position initiale : ( )m 3 j i ri v v v + = Position finale : ( )m 5 4 j i rf v v v + = Déplacement : ( )m 2 3 j i r r s i f v v v v v + = − = Orientation des champs électriques : i E E v v 1 1 − = et j E E v v 2 2 = y (m) Pi Vue de haut Pf x (m) + + + + + + + + + + + + + + + + + + 1 σ 2 σ 2 E v 1 E v s v z (m) (La véritable trajectoire du bloc est inconnue.) Évaluons le module des champs électriques à partir de l’expression du module du champ électrique produit par une PPIUC : 0 2ε σ = E ⇒ ( ) ( ) 12 6 0 1 1 10 85 , 8 2 10 2 2 − − × × = = ε σ E ⇒ N/C 10 130 , 1 5 1 × = E ( ) ( ) 12 6 0 2 2 10 85 , 8 2 10 5 2 − − × × = = ε σ E ⇒ N/C 10 825 , 2 5 2 × = E Évaluons le champ électrique total : 2 1 E E E v v v + = ⇒ ( ) ( ) j E i E E v v v 2 1 + − = ⇒ ( ) N/C 10 825 , 2 130 , 1 5 × + − = j i E v v v Évaluons la variation du potentiel électrique causée par un déplacement s v dans un champ électrique constant E v : s E V v v ⋅ − = ∆ ⇒ ( ) ( ) ( ) j i j i V v v v v 2 3 10 825 , 2 130 , 1 5 + ⋅ × + − − = ∆ (Remplacer num.) ⇒ ( ) ( ) j i j i V v v v v 2 3 825 , 2 130 , 1 10 1 5 + ⋅ + − × − = ∆ (Factoriser constante) ⇒ ( ) 2 825 , 2 3 130 , 1 10 1 5 ∗ + ∗ − × − = ∆V ( y y x x s E s E s E + = ⋅v v ) ⇒ V 10 26 , 2 5 × − = ∆V Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B Page 4 Note de cours rédigée par : Simon Vézina Situation B : Déplacement près de deux PPIUC, partie 2. À partir de la situation précédente, sachant que le bloc déplacé (masse : 0,5 kg , charge : -1 µC) avait une vitesse de 1,2 m/s à la coordonnée (x = 1 m, y = 3 m) avec une orientation appropriée pour atteindre la coordonnée (x = 4 m, y = 5 m), quel est le module de la vitesse du bloc après son déplacement ? Voici la représentation de la situation ainsi que les résultats obtenus précédemment : Position initiale : ( )m 3 j i ri v v v + = Position finale : uploads/s3/ nyb-xxi-chap-2-5.pdf