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Concours National Commun – Session 2015 – Filière PSI Epreuve de Physique II 1/

Concours National Commun – Session 2015 – Filière PSI Epreuve de Physique II 1/8  On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il convient en particulier de rappeler avec précision les références des questions abordées.  Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant clairement les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.  Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées.  Si un résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être admis pour les questions suivantes. Ainsi, les diverses parties du problème sont relativement indépendantes entre elles. Etude d'un capteur capacitif L’épreuve est constituée d'un problème composé de quatre parties relativement indépendantes et peuvent être traitées dans l'ordre choisi par le candidat. Après le calcul de la capacité d'un condensateur plan et l'étude du condensateur dans différentes situations, on s'intéresse à montrer qu’on peut utiliser un condensateur pour réaliser un capteur capacitif. On étudie ensuite une chaine d'acquisition d'une grandeur physique, la hauteur du niveau d'un liquide dans un réservoir. Données :  Permittivité du vide : 0 9 1 . . 36 10 S I     Vitesse de la lumière dans le vide : 8 1 3.10 . c m s   .  2 0 0 1 µ c  . 1. Champ électrostatique d'un système de deux plans conducteurs 1.1. On considère dans un premier temps un conducteur plan 1 ( ) P d'axe ( ) Oz , de surface S d'épaisseur négligeable placé dans l'air dont les propriétés électriques et magnétiques sont celles du vide (figure 1). Le plan 1 ( ) P correspond au plan ( ) Oxy du système de coordonnées cartésiennes ( , , ) Ox Oy Oz auquel on associe la base orthonormée ( , , ) x y z e e e . La position d’un point M est repérée par ses coordonnées cartésiennes ( , , ) x y z . Le conducteur porte une charge répartie uniformément par unité de surface 1    ( 0)  . Afin d'étudier les symétries et les invariances, on suppose que le plan est illimité. 1.1.1. Montrer que le champ électrostatique 1( ) E M créé par le plan 1 ( ) P en tout point M est de la forme 1 1 ( ) ( ) z E M E z e  . 1 ( ) P x O y z figure 1 Concours National Commun – Session 2015 – Filière PSI Epreuve de Physique II 2/8 1.1.2. Ecrire l’équation locale de Maxwell-Gauss et montrer que 1( ) E z est constant. En utilisant les conditions aux limites, achever la détermination du champ électrostatique et donner l'expression de 1( ) E z en tout point de l'espace. En déduire le potentiel électrostatique 1( ) V z dont dérive le champ 1( ) E M . 1.2. On superpose au premier plan 1 ( ) P un deuxième plan conducteur 2 ( ) P identique et parallèle au premier (figure 2). Le plans 2 ( ) P est situé en z d  ( 0 d  ). Les deux conducteurs métalliques ont la même surface S supposée très grande devant le carré de la distance d . Le conducteur 2 ( ) P porte une charge répartie uniformément par unité de surface 2    . L’ensemble est situé dans l'air assimilé au vide. 1.2.1. Déterminer le champ électrostatique ( ) E M créé par le système des deux conducteurs en tout point de l'espace. En déduire la distribution de potentiel ( ) V M dont dérive le champ ( ) E M . 1.2.2. Tracer les allures des courbes donnant le champ ( ) E M et le potentiel ( ) V M en précisant les valeurs aux points remarquables. On prendra 1 ( 0) V z V   . 2. Condensateur plan Le système étudié dans la question précédente constitue un condensateur plan formé des deux conducteurs (armatures) métalliques 1 ( ) P et 2 ( ) P en équilibre électrostatique. Les deux armatures sont de forme rectangulaire (longueur L et largeur l ) et distantes de d (figure 2). L’armature supérieure 2 ( ) P est portée au potentiel V2 et l’armature inférieure 1 ( ) P est portée au potentiel V1. On pose 1 2 U V V   . 2.1. Rappeler la définition d’un conducteur en équilibre électrostatique et celle d’un condensateur électrique. 2.2. Pour que le condensateur plan vérifie la définition de la question précédente, on néglige les effets de bord. Préciser, qualitativement, les conditions que doivent vérifier les armatures pour que l’approximation soit valable. 2.3. On note 1 Q la charge de l'armature 1 ( ) P , 2 Q celle de l'armature 2 ( ) P . Définir la charge Q de ce condensateur. x O y z 1 ( ) P figure 2 2 ( ) P d Concours National Commun – Session 2015 – Filière PSI Epreuve de Physique II 3/8 2.4. Après avoir défini la capacité C d’un condensateur et en utilisant l’expression du champ électrostatique calculé dans la question 1.2.1, montrer que la capacité du condensateur plan est donné par 0 0 S C d   . 2.5. Déterminer l'expression p W de l'énergie potentielle du condensateur en fonction du champ électrostatique. Retrouver l'expression de la densité volumique d'énergie électrique. 2.6. Après avoir isolé le condensateur, on introduit entre les armatures 1 ( ) P et 2 ( ) P un plan métallique ( ) P (figure 3), initialement neutre, d'épaisseur uniforme e , parallèle aux armatures, de surface S , centré sur l'axe du condensateur. On appelle 1 e et 2 e les distances de ces faces aux armatures. 2.6.1. Décrire les phénomènes électriques qui se produisent lorsqu'on introduit ce conducteur. 2.6.2. Calculer la nouvelle capacité ' C du condensateur, et la différence de potentiel ' U entre les armatures. 2.6.3. On refait l'opération en maintenant constante la différence de potentiel U grâce à un générateur. Calculer la nouvelle charge ' Q du condensateur. 2.7. On introduit une lame à faces parallèles diélectrique de permittivité relative r  entre les armatures du condensateur plan alimenté. Le diélectrique occupe tout l’espace entre les armatures considérées toujours suffisamment grandes. Le champ 0 E créé par le condensateur entre ses armatures est supposé uniforme et polarise uniformément le diélectrique. 2.7.1. Quel est l’intérêt pratique d’introduire un matériau diélectrique entre les armatures d’un condensateur ? 2.7.2. Décrire les phénomènes électriques qui se produisent lorsqu'on introduit ce diélectrique. 2.7.3. Donner quelques ordres de grandeur de la permittivité relative r . 2.7.4. Déterminer la capacité C en fonction de la capacité dans le vide 0 C quand le diélectrique occupe seulement une partie du volume d’épaisseur ' e par rapport à l’épaisseur totale d (figure 4). 2.7.5. Déterminer la capacité C du condensateur en fonction de 0 C , r  et ' e et vérifier le résultat en étudiant les cas limites : ' 0 e  ; 1 r  ; ' e d  . 3. Charge lente du condensateur plan Les armatures du condensateur plan étudié précédemment sont supposées circulaires de rayon a situées à la distance d l’une de l’autre. On s’intéresse à la charge, supposée lente, du condensateur inséré dans le circuit de résistance R (figure 5). Le milieu entre les armatures est assimilé au vide. Le condensateur 1 ( ) P figure 4 2 ( ) P ' e 1 e 1 ( ) P figure 3 2 ( ) P e 2 e Concours National Commun – Session 2015 – Filière PSI Epreuve de Physique II 4/8 étant initialement déchargé ( ( 0) 0 q t   ), on le charge à l’aide d’un générateur idéal de tension de f.é.m. constante. 3.1. Déterminer l’expression de la charge ( ) q t portée par l’armature 1 ( ) P en fonction du temps. 3.2. Déterminer, pendant la durée de la charge totale du condensateur, l’énergie g W fournie par le générateur, l’énergie C W emmagasinée par le condensateur et l’énergie J W dissipée par effet Joule. 3.3. Rappeler les équations de Maxwell dans le vide sous forme locale en présence de charge et de courant et donner leurs expressions intégrales ainsi que leur signification physique. 3.4. A quelle condition sur la variation de la charge ( ) q t l’expression du champ électrique calculée dans la question 1.2.1 reste-t-elle valable ? On suppose cette condition vérifiée dans la suite. Exprimer dans ce cas le champ électrique ( ) E t en fonction de t , 0 U , d , R , C et 0 . En déduire l’expression de la densité de courant de déplacement D J . 3.5. On repère un point M de l'espace inter-armature par ses coordonnées cylindriques ( , uploads/s3/ cnc-2015-psi-elcmag-064329.pdf