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Matière : ELECTROTECHNIQUE FONDAMENTALE 1 Page 1 sur 5 Cours ELT1 S3-2021-2022

Matière : ELECTROTECHNIQUE FONDAMENTALE 1 Page 1 sur 5 Cours ELT1 S3-2021-2022 / Pr CHAOUCH.S 1.1 Introduction Les nombres complexes est un outil mathématique qui nous permettra de traiter et d’étudier des circuits électriques aussi complexes que possible d’une façon purement algébrique. 1.2 Forme cartésienne (ou forme algébrique) La forme cartésienne (ou algébrique) est une façon de représenter un nombre complexe : Soit un nombre complexe tel que = a+bj a : partie réelle b : partie imaginaire j : le nombre imaginaire tel que : j2=-1 Un nombre complexe est réel si la partie imaginaire est nulle. Un nombre complexe est imaginaire pur si la partie réelle est nulle. 1.3 NC conjugués, Module et argument Soit un nombre complexe =a+bj ; le conjugué de est noté par : ∗= − Le module d’un nombre complexe = a+bj est = = √ + il est réel, positif ou nul L’argument d’un nombre complexe est un angle que l’on peut exprimer en degré ou en radian (180°= π radian) et il est donné par Arg( )= ( ) Exemple1: Si = -4 Alors est un nombre complexe réel Si = 5j Alors est un nombre complexe purement imaginaire ∗= −4 −5 CHAPITRE 1 Rappels mathématiques sur les nombres complexes (NC)- Nombres complexes en électrotechnique Exemple2: pour = -4+5j Le conjugué de est ∗= − − Le module de est = (−) + =6.4 L’argument de , est Arg( )= ( )=128.66° Remarque : Si a= 0 alors Arg( )= pour b>0 ou Arg( )=- pour b <0 Si b= 0 alors Arg( )=0 pour a>0 ou Arg( )= pour a <0 Matière : ELECTROTECHNIQUE FONDAMENTALE 1 Page 2 sur 5 Cours ELT1 S3-2021-2022 / Pr CHAOUCH.S 1.4Opérations arithmétiques sur les Nombres Complexes 1.4.1 Addition et Soustraction Les parties réelles s’additionnent (ou se soustraient) et Les parties imaginaires s’additionnent (ou se soustraient). Soient deux nombres complexes 1=a+bj et 2= a’+b’j Addition: 1+ 2= a+jb+a’+b’j= (a+a’) + j(b+b’) Soustraction 1- 2= a+jb-(a’+b’j)= (a-a’) + j(b-b’j) 1.4.2 Multiplication d’un nombre réel et d’un nombre complexe Soient un nombre réel k et un nombre complexe Z=a+bj. Alors La multiplication de k par Z donne : k Z=k x (a+jb)= ka+kbj 1.4.3 Multiplication de deux nombres complexes Soient deux nombres complexes 1=a+bj et 2=a’+b’j. Alors La multiplication de deux nombres complexes nécessite la connaissance des propriétés suivantes : j x j = -1 et = − La multiplication donne 1 x 2 = (a+jb) x (a’+b’j) = a.a’+ a. b’j+ jb .a’ –bb’ = (aa’-bb’)+j(ab’+ba’) 1.5 Représentation géométrique Un nombre complexe peut être représenté par un point ou un vecteur dans le plan des nombres complexes. Soit un repère orthonormé (⃗, ⃗). à tout nombre complexe = a + jb , on peut associer : le point M (a,b) , point image de : ⃗= ⃗+ ⃗ Exemple3: Soient deux nombres complexes 1=2+3j et 2= -4+5j Alors 1+ 2= (2-4) + j(3+5) = -2+8j Et 1- 2 = (2+4) + j(3-5) = 6-2j Exemple4: Soient k=2 et = -4+5j k. = 2(-4) + 2. 5j= -8+10j Exemple 5 : Soient 1=2+3j et 2= -4+5j 1x 2= (2x(-4)) +2x5j + 3jx(-4)+3jx5j = -8+10j -12j -15=(-8-15)+j(-12+10)=-23-2j ⃗ a x ⃗ b o M ⃗( , ) Matière : ELECTROTECHNIQUE FONDAMENTALE 1 Page 3 sur 5 Cours ELT1 S3-2021-2022 / Pr CHAOUCH.S le vecteur ⃗ , vecteur image de : ⃗= ⃗+ ⃗ On dit alors que M (ou v) a pour affixe le nombre complexe 1.6 Forme trigonométrique (forme polaire) La forme trigonométrique est une autre façon de représenter un nombre complexe, il s’agit de le représenter par un module et un argument : Soit le nombre complexe =a+bj Arg( )= = ⃗ ⃗ cos( ) = = √ + sin( ) = = √ + Sous forme trigonométrique et polaire, le nombre complexe peut s’écrire : Frome algébrique (cartésienne) Forme trigonométrique Forme polaire = + = (cos( ) + ( )) = ∠ Avec = ( ) et = ( ) Avec = = √ + et = Arg( )= ( ) Avec = = √ + et = Arg( )= ( ) Exemple 6 : Soit un nombre complexe = 2 + 3j Le point image est M (2, 3); est l’affixe de M. Le module | | est la distance du point O au point M= √2 + 3 = √13 . ⃗ 2 x ⃗ 3 o M ⃗(2,3) Exemple 7 : Déterminer la forme trigonométrique du nombre complexe = + On cherche tout d’abord le module et l’argument  = √0.5 + 0.5 = 0.707 et Arg( )= Arctg(1)=45°  Alors =0.7(cos (45)+j sin(45)) x⃗ a x ⃗ b o M | | = + Matière : ELECTROTECHNIQUE FONDAMENTALE 1 Page 4 sur 5 Cours ELT1 S3-2021-2022 / Pr CHAOUCH.S 1.7 Représentation d’un NC par une exponentielle Soit un nombre complexe donné sous sa forme trigonométrique = (cos( ) + ( )) Alors il peut s’écrire sous forme exponentielle par : = (e ) avec e = cos( ) + ( ) Désigne donc le nombre complexe de module 1 ( =1) et d'argument  La notation exponentielle permet de transformer les règles de calcul sur le produit et le quotient en règles de calcul sur les puissances. On donne les cosinus et sinus de quelques angles particuliers dans le tableau qui suit : Angle 0° 30° 45° 60° 90° Sin 0 1 2 √2 2 √3 2 1 Cos 1 √3 2 √2 2 1 2 0 1.8 Formule de Moivre, racine des Nombres Complexes On considère la forme exponentielle suivante : = (e ) alors n=[ (e )] = [ (e )] = [cos( ) + ( )] De la relation précédente nous exprimons la Formule de MOIVRE : ∀ , ∀, [cos( ) + ( )] = [cos( ) + ( )] Exemple 8 : Soient 1= + et Z2=1 + deux nombres complexes. Calculer le produit 1 x 2 en utilisant la forme exponentielle.  1= + en Forme Exponentielle 1= =0.7  2=1 + en Forme Exponentielle 2= = 1.4 Alors × = × = 0.7 × 1.4 =(0.7 × 1.4) ( ) = 1. =  Exemple 9 : Calculer pour 1=3 Pour = = [ (e )] = [cos + ( )]⬚alors  = 3[cos + ( )]⬚ Matière : ELECTROTECHNIQUE FONDAMENTALE 1 Page 5 sur 5 Cours ELT1 S3-2021-2022 / Pr CHAOUCH.S 1.9 Application trigonométrique des formules d’Euler, D’après les relations exponentielles suivantes : = + = − On peut déduire les Formules d'EULER suivantes : = et = 1.10 Application des nombres complexes à l’électrotechnique Pour un premier temps, on peut utiliser la notation complexe pour représenter les grandeurs électriques sinusoïdales. Par la suite (dans le chapitre 2) on l’utilisera pour représenter les impédances et pour résoudre un circuit électrique. Tension sinusoïdale : Une tension alternative sinusoïdale est de la forme ( ) = √2 ( + ) Avec U : valeur efficace, UM= √2 : valeur maximale : phase de la tension, = 2 Pulsation, f: fréquence A une tension sinusoïdale ( ) est associé le nombre complexe = Avec U = et arg ( ) = Courant Sinusoïdal : De même pour le courant sinusoïdal : ( ) = √2 ( + ) Sous forme exponentielle = T : Période UM : Valeur maximale ⃗ a b ⃗b o M Exemple 10 : Déterminer la forme complexe des tensions et courants suivants : ( ) = 220√2 ( ), i1( ) = 2.5√2 ( −), i2( ) = 5 ( + ),  = 220 = 220∠0 = 220  = 2.5 = 2.5 cos − + − = 2.5∠− A  = √ = 3.53 cos + = 3.53∠ uploads/s3/ chap1-elt1-nombres-complexes-2021-3.pdf