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MODULE : ALGEBRE// L2 // E.S.I.A //ANNEE SCOLAIRE : 2021-2022// Dr. BA Page 1 CHAPITRE 1 : THEORIE DES ENSEMBLES Les langages de programmation actuels exigent que certaines variables soient déclarées avec un certain type de données. Un type de données est un ensemble d’objets associés à une liste d’opérations standards effectuées sur ces objets. Définir le type d’une variable équivaut à déclarer l’ensemble des valeurs possibles et autorisées pour cette variable. Dans la sémantique de Python vous avez dû rencontrer :  Le type bool : s’interprète comme l’ensemble   Faux Vrai,  Le type int : s’interprète comme l’ensemble des entiers  Le type float : s’interprète comme l’ensemble des nombres à virgule flottante  Le type str : s’interprète comme l’ensemble des chaines de caractères  Le type list : s’interprète comme l’ensemble des listes de longueur variable I. Ensembles 1. Définitions Un ensemble est une collection d’objets mathématiques que l’on peut énumérer ou définir par une propriété. Les objets qui appartiennent à un ensemble sont appelés les éléments de cet ensemble. Un ensemble se note par une lettre majuscule   ,... , , C B A et ses éléments qui le composent sont écrits en minuscule   ,... , , c b a . Lorsqu’on énumère les éléments d’un ensemble, on dit que cet ensemble est défini par extension.   ,... , , c b a F  Lorsqu’on définit un ensemble par une propriété, on dit que cet ensemble est défini par compréhension.   ) (x P A x F    L’ensemble qui ne contient aucun élément s’appelle : l’ensemble vide noté   Un ensemble qui ne contient qu’un élément s’appelle un singleton MODULE : ALGEBRE// L2 // E.S.I.A //ANNEE SCOLAIRE : 2021-2022// Dr. BA Page 2 Exemple : Soit A l’ensemble des nombres entiers pairs compris entre 0 et 10. Alors les éléments de A sont 10 , 8 , 6 , 4 , 2 , 0 . On écrit   10 , 8 , 6 , 4 , 2 , 0  A  Pour dire qu’un objet mathématique x est un élément d’un ensemble A , on écrit : A x Lorsque x n’est pas un élément de A , on écrit : A x  Deux ensembles A et B sont égaux lorsqu’ils ont les mêmes éléments. On écrit : B A  Ainsi, B A  lorsque B A  et A B  Exemple : si   10 , 8 , 6 , 4 , 2 , 0  A et   8 , 6 , 4 , 2 , 0 , 10 , 8 , 6  B , on a B A  2. Notations particulières a)  : l’ensemble des entiers naturels   ,... 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0   L’insuffisance de  vient de l’impossibilité d’y résoudre une équation de la forme 3 7   x i.e de pouvoir effectuer toutes les soustractions. Etant donné deux entiers naturels a et b , nous savons calculer la somme et le produit b a  qui sont encore des entiers naturels. b)  : l’ensemble des entiers relatifs   ,... 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ...,        L’ensemble  contient bien l’ensemble . Dans , tout entier a admet un opposé a  . Il est cependant impossible de résoudre dans  une équation comme 0 5 3   x , i.e d’y effectuer toutes les divisions. Pour pallier à cette impossibilité, on construit l’ensemble Q c) Q : l’ensemble des nombres rationnels         p n p n Q , : avec  0  p Il est impossible de résoudre l’équation 2 2  x dans Q . MODULE : ALGEBRE// L2 // E.S.I.A //ANNEE SCOLAIRE : 2021-2022// Dr. BA Page 3 Pour combler ces lacunes, les mathématiciens ont donc construit l’ensemble  d)  : l’ensemble des nombres réels Il est formé des nombres rationnels et des nombres irrationnels, ceux qui n’appartiennent pas à Q . Exemple : les nombres suivants ... 141 , 3   ... 732 , 1 3  ... 712 , 2  e ... 414 , 1 2  e) ₵ : l’ensemble des nombres complexes Il peut s’écrire sous la forme ib a z   , avec a et b des réels et tel que 1 2   i On a : C Q D         Remarque : On dit que A est un sous ensemble de (respectivement de ,Ⅾ, Q , ou ₵ ) si tout élément de A est élément de (respectivement de ,Ⅾ, Q , ou ₵ ). 3. Ensemble des parties Définition Soit A un ensemble. L’ensemble des parties de A , noté ) (A P , est l’ensemble de tous les sous-ensembles de A . Propriété Pour tout ensemble A , on a ) ( , A P A  Exemple :   3 , 2 , 1  A , alors      3 , 2 , 1 , 3 , 2 , 3 , 1 , 2 , 1 , 3 , 2 , 1 , ) (   A P 4. Opérations sur les ensembles : intersection ; union ; complémentaire ; inclusion MODULE : ALGEBRE// L2 // E.S.I.A //ANNEE SCOLAIRE : 2021-2022// Dr. BA Page 4 Soient A et B deux sous-ensembles non vides de Q , ,   ou . i. On écrit A x pour dire que x est un élément de A . ii. On note B A  l’ensemble des éléments qui sont à la fois dans A et B .On lit A inter B . A x B A x     et B x Exercice 1 : A. Soit A l’ensemble des entiers naturels pairs inférieurs ou égaux à 20et soit B l’ensemble des entiers naturels multiples de 3 inférieurs ou égaux à 20  Ecrire l’ensemble A  Ecrire l’ensemble B  Déterminer B A  B. Soit   10 , 8 , 6 , 4 , 2 , 0  A et   5 , 8 , 8 , 2 , 10 , 3  F  Déterminer F A  iii. On note B A  l’ensemble des éléments qui sont dans A ou dans B .On lit A union B Exercice 2 : en utilisant l’exercice précédent, déterminer B A  et F A  . iv. B A B CA  l’ensemble des éléments qui sont dans A et qui ne sont pas dans B .On lit complémentaire de B dans A ou A privé de B . Exercice 3 : en utilisant l’exercice précédent, déterminer B CA et F C A . v. On écrit B A  pour dire que tout élément de A est élément de B .On lit A est inclus dans B ou A est un sous-ensemble de B . vi. On note B A  si et seulement si A B  .On lit A contient B vii. On écrit B A  si et seulement si B A  et A B  .On lit B A  viii. On écrit B A  si et seulement si B A  ou B A  .On lit A est inclus dans B ou égal à B . ix. Lorsque l’ensemble A est inclus dans l’ensemble B , alors on a : MODULE : ALGEBRE// L2 // E.S.I.A //ANNEE SCOLAIRE : 2021-2022// Dr. BA Page 5 B B A B A     A B A B A     x. L’union de l’ensemble A et de son complémentaire A donne un ensemble . Soit E cet ensemble. E A A   xi. A A C C E C E C E E E E      ) ( ) ( ) ( 5. Cardinal d’un ensemble Le cardinal d’un ensemble correspond à sa taille. Pour un ensemble fini, il s’agit du nombre de ses éléments. On note dans ce cas ) (E Card ou E le cardinal de E Exemple :  0 ) (   Card   1 ) (   Card 6. Propriétés des opérations sur les ensembles Soient A , , B C trois sous - ensembles de l’ensemble E , on a les égalités suivantes : i. La commutativité A B B A A B B A       , ii. L’associativité C B A C B A C B A C B A         ) ( ) ( ) ( ) (   uploads/s3/ chapitre-1-the-orie-des-ensembles.pdf