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ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP CONCOURS D’ADMISSION 2001 DEUXIÈME COMPOSITION D

ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP CONCOURS D’ADMISSION 2001 DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures) L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve. ⋆⋆⋆ On attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. ⋆⋆⋆ On se propose d’établir quelques propriétés des sous-groupes discrets des espaces euclidiens. Dans tout le problème, on désigne par n un entier strictement positif, par E l’espace Rn, par ( | ) son produit scalaire usuel et par ∥∥la norme correspondante. On rappelle les faits suivants : a) un sous-ensemble L de E est dit discret si tout élément x de L est isolé, i.e. admet un voisinage V dans E tel que L ∩V = {x} ; b) un groupe abélien G est isomorphe à un groupe Zm si et seulement s’il admet une Z-base, c’est-à-dire une famille (e1, . . . , em) telle que tout élément g de G s’écrive d’une façon unique sous la forme g = m i=1 kiei avec ki ∈Z. Première partie 1. Démontrer les assertions suivantes : a) Un sous-groupe L de E est discret si et seulement si l’élément 0 est isolé. b) Tout sous-groupe discret L de E est fermé dans E. c) Les sous-groupes discrets de R sont exactement les sous-ensembles de la forme aZ avec a ∈[0, +∞[. 2. On désigne par α un nombre réel > 0 et par L le sous-groupe de R, ensemble des réels m + nα où n, m ∈Z. Montrer que L est discret si et seulement si α est rationnel. 1 3. Construire un sous-groupe discret L de R2 tel que sa première projection sur R ne soit pas discrète. 4. On se propose ici de démontrer que tout sous-groupe discret L de E est isomorphe à un sous-groupe d’un groupe Zm. On désigne par F le sous-espace vectoriel de E engendré par L, par m sa dimension, par (a1, . . . , am) une base de F contenue dans L, et par L′ le sous-groupe de L engendré par cette base. Enﬁn on pose P = L ∩ m i=1 λiai | λi ∈[0, 1[ . a) Vériﬁer que P est un ensemble ﬁni. b) Etant donné un élément x de L, construire un couple (y, z) ∈L′ × P tel que l’on ait x = y + z, et démontrer son unicité. c) Soit encore x un élément de L ; écrivant kx = yk + zk (pour k entier > 0), montrer qu’il existe un entier d > 0 tel que l’on ait dx ∈L′. d) Conclure. 5. Dans cette question, L est un sous-groupe de Zm ; ses éléments seront notés x = (x1, . . . , xm) ; on posera π(x) = xm. a) Montrer qu’il existe un entier k ⩾0 et un élément x◦de L tel que l’on ait π(L) = kZ = π(x◦)Z . b) On suppose ici π(L) non réduit à {0} ; étant donné un élément x de L, construire un couple (p, x) ∈Z × L tel que l’on ait xm = 0 et x = px◦+ x ; démontrer son unicité. c) En déduire que tout sous-groupe discret de E est isomorphe à un groupe Zr. 6. On suppose ici n = 2 et on considère deux Z-bases (u1, u2), (v1, v2) d’un même sous- groupe discret L de E. Comparer les aires des parallélogrammes construits respectivement sur (u1, u2) et (v1, v2). Deuxième partie 7. Dans cette question, on désigne par B la base canonique de E et par GL(E) le groupe des automorphismes linéaires de E. Pour toute partie X de E, on note L(X) le sous-groupe de E engendré par X. Soit G un sous-groupe ﬁni de GL(E) tel que les matrices des éléments de G dans la base B soient à coeﬃcients rationnels. On note GB l’ensemble des vecteurs g(x) où g ∈G et x ∈B. 2 a) Montrer qu’il existe un entier d > 0 tel que l’on ait dL(GB) ⊂L(B). b) Démontrer l’existence d’une base de E dans laquelle les matrices des éléments de G sont à coeﬃcients entiers. 8. Soit A une matrice à n lignes et n colonnes, à coeﬃcients rationnels, d’ordre ﬁni r (c’est- à-dire que Ar = I et que r est le plus petit entier > 0 ayant cette propriété). a) Montrer que le polynôme caractéristique de A est à coeﬃcients entiers. b) On suppose ici n = 2. Montrer que r ne peut prendre que les valeurs 1, 2, 3, 4, 6 et donner, pour chacune de ces valeurs, un exemple de matrice d’ordre r à coeﬃcients entiers. Troisième partie On désigne par O(E) le groupe des automorphismes linéaires orthogonaux de E (ensemble des u de GL(E) tels que ∥u(x)∥= ∥x∥pour tout x de E), et par AO(E) l’ensemble des transformations de E de la forme x →g(x) = u(x) + a où u ∈O(E) et a ∈E ; on écrit alors g = (u, a). On note e l’élément neutre de O(E). 9. Montrer que O(E) est compact. 10.a) Vériﬁer que AO(E) est un groupe, écrire sa loi de groupe, préciser son élément neutre, puis l’inverse d’un élément (u, a). b) Calculer (u, a) (e, b) (u, a)−1. 11. On note ρ le morphisme AO(E) →O(E) déﬁni par ρ(u, a) = u. On ﬁxe un sous-groupe discret L de E qui engendre linéairement E et on note G le sous-groupe de AO(E) formé des éléments g tels que g(L) = L. a) Vériﬁer que, si un élément (u, a) de AO(E) appartient à G, il en est de même de (u, 0) et (e, a). b) Montrer que ρ(G) est ﬁni. c) Déterminer G dans le cas où n = 2 et où L est l’ensemble des couples (x1, x2) de E tels que x1 ∈2Z, x2 ∈Z. ∗ ∗ ∗ 3 uploads/s3/ sxmp201-pdf.pdf